积性函数的积性函数

Posted 2023-04-30

参考技术A

φ(n) －欧拉函数，
μ(n) －莫比乌斯函数，关于非平方数的质因子数目
gcd(n,k) －最大公因子，当k固定的情况
d(n) －n的正因子数目
σ(n) －n的所有正因子之和
σk(n) － 因子函数，n的所有正因子的k次幂之和，当中k可为任何复数。
1(n) －不变的函数，定义为 1(n) = 1 （完全积性）
Id(n) －单位函数，定义为 Id(n) = n（完全积性）
Idk(n) －幂函数，对于任何复数、实数k，定义为Idk(n) = n^k （完全积性）
ε(n) －定义为：若n = 1，ε(n)=1；若 n > 1，ε(n)=0。别称为“对于狄利克雷卷积的乘法单位”（完全积性）
λ(n) －刘维尔函数，关于能整除n的质因子的数目
γ(n)，定义为γ(n)=(-1)^ω(n)，在此加性函数ω(n)是不同能整除n的质数的数目
另外，所有狄利克雷特征均是完全积性的

积性函数筛法

积性函数筛法

很多常用的数论函数都是积性函数，而在题目中，我们常常需要线性（甚至更高）的筛法。

对于积性函数，我们可以在筛素数的基础上稍加修改，即可完成线性筛。

首先，注意到积性函数的特点：
[ f(xy)=f(x) imes f(y) ]
而可以线性筛的积性函数，需要知道以下两个式子的快速求法：
[ f(p)=?quad f(p^k)=?\pin prime ]
其中， (f(p)) 大多是直接定义，(f(p^k)) 大多是递归定义。

我们来回忆一下素数筛的过程：

inp[0]=inp[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
    if(!inp[i]){
        prime[++tot]=i;
    }
    for(int j=1;j<=tot && i*prime[j]<=n;j++){
        int tp=prime[j]*i;
        inp[tp]=1;
        if(i%prime[j]==0){
            break;
        }
    }
}

在线性筛素数的基础上，我们可以进行线性筛的修改。

首先，对于判定的质数 (p) ，可以直接给出定义的值。

之后，对于 (i\%p eq0) ，由于 (i) 和 (p) 互质，可以直接用积性函数性质推得。

然后，对于 (i\%p == 0) :

• 即 (i) 内的最小素因子是 (p) ，此刻可以将 (i) 内的素因子都除掉，然后就可以用积性函数的性质来递推了。为此，我们要记录一个最小质因子的幂次 (low_i) 。

  那么递推式就可以表示为：(f(i imes p)=f(i/low_i) imes f(low_i imes p)) 。

• 此处还有一个特殊的判定，当 (i==low_i) 时，上式相当于没推，所以我们要用 (f(p^k)) 的递推来计算。

那么代码如下：

inp[0]=inp[1]=1;
f[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
    if(!inp[i]){
        prime[++tot]=i;
        f[i]=对质数的定义式;
        low[i]=i;
    }
    for(int j=1;j<=tot && i*prime[j]<=n;j++){
        int tp=prime[j]*i;
        inp[tp]=1;
        if(i%prime[j]==0){
            if(i!=low[i])
                f[tp]=f[i/low[i]]*f[low[i]*prime[j]];
            else
                f[tp]=对p的次幂的定义式；
            low[tp]=low[i]*prime[j];
            break;
        }
        f[tp]=f[i]*f[prime[j]];
        low[tp]=prime[j];
    }
}

缺点很明显，比较耗空间。（但是题目会给够的

当需要线性筛很多个积性函数时，可以同时进行。

这种基于素数筛的线性筛法，有时不止对积性函数有用，对于一些和素数有关的函数也可以筛出，具体在我写的莫比乌斯反演中有例子。

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(frak by;thorn\_)