一个数怎么能对一个向量求导

Posted 2023-04-23

　　1. 矩阵Y对标量x求导：
　　相当于每个元素求导数后转置一下，注意M×N矩阵求导后变成N×M了
　　Y = [y(ij)] --> dY/dx = [dy(ji)/dx]
　　2. 标量y对列向量X求导：
　　注意与上面不同，这次括号内是求偏导，不转置，对N×1向量求导后还是N×1向量
　　y = f(x1,x2,..,xn) --> dy/dX = (Dy/Dx1,Dy/Dx2,..,Dy/Dxn)\'
　　3. 行向量Y\'对列向量X求导：
　　注意1×M向量对N×1向量求导后是N×M矩阵。
　　将Y的每一列对X求偏导，将各列构成一个矩阵。
　　重要结论：
　　dX\'/dX = I
　　d(AX)\'/dX = A\'
　　4. 列向量Y对行向量X’求导：
　　转化为行向量Y’对列向量X的导数，然后转置。
　　注意M×1向量对1×N向量求导结果为M×N矩阵。
　　dY/dX\' = (dY\'/dX)\'
　　5. 向量积对列向量X求导运算法则：
　　注意与标量求导有点不同。
　　d(UV\')/dX = (dU/dX)V\' + U(dV\'/dX)
　　d(U\'V)/dX = (dU\'/dX)V + (dV\'/dX)U\'
　　重要结论：
　　d(X\'A)/dX = (dX\'/dX)A + (dA/dX)X\' = IA + 0X\' = A
　　d(AX)/dX\' = (d(X\'A\')/dX)\' = (A\')\' = A
　　d(X\'AX)/dX = (dX\'/dX)AX + (d(AX)\'/dX)X = AX + A\'X
　　6. 矩阵Y对列向量X求导：
　　将Y对X的每一个分量求偏导，构成一个超向量。
　　注意该向量的每一个元素都是一个矩阵。
　　7. 矩阵积对列向量求导法则：
　　d(uV)/dX = (du/dX)V + u(dV/dX)
　　d(UV)/dX = (dU/dX)V + U(dV/dX)
　　重要结论：
　　d(X\'A)/dX = (dX\'/dX)A + X\'(dA/dX) = IA + X\'0 = A
　　8. 标量y对矩阵X的导数：
　　类似标量y对列向量X的导数，
　　把y对每个X的元素求偏导，不用转置。
　　dy/dX = [ Dy/Dx(ij) ]
　　重要结论：
　　y = U\'XV = ΣΣu(i)x(ij)v(j) 于是 dy/dX = = UV\'
　　y = U\'X\'XU 则 dy/dX = 2XUU\'
　　y = (XU-V)\'(XU-V) 则 dy/dX = d(U\'X\'XU - 2V\'XU + V\'V)/dX = 2XUU\' - 2VU\' + 0 = 2(XU-V)U\'
　　9. 矩阵Y对矩阵X的导数：
　　将Y的每个元素对X求导，然后排在一起形成超级矩阵。
　　 参考技术A 如果是单变量向量，对它的每个坐标分别求导就行了。
比如x=(sin(t),cos(t)),对x求导就是x'=(cos(t),-sin(t)).
如果是多变量向量，有两种导数，分别是旋度和散度。具体公式看书吧。本回答被提问者采纳

对向量方阵的求导

         本总结是是个人为防止遗忘而作，不得转载和商用。

         平时都是对一个数求导，那对向量求导呢？看下面的例子：

         假设有下面这样的矩阵A和向量X

                  

         我们很容易求出

                  

         现在另 y = A·X，那矩阵y对向量x求偏导的结果是多少？

         我们来分析一下，既然是矩阵y对向量x求偏导，那就的让矩阵y中的每一个元素对向量x中的每一个元素分布求偏导。

         我们一个个来

                   1，先求矩阵y的第一行第一个元素a₁₁x₁对向量x的第一个元素x₁的偏导，即求：

                            f(x₁)= a₁₁x₁

                   的导数，这个很简单

                            f’(x₁)= a₁₁

                   2，因为x是一个向量，所以我们让y中的每一个元素对x中的每一个元素求偏导啊，于是我们还得继续求a₁₁x₁对向量x的第二个元素x₂的偏导，即求：

                            f(x₂)= a₁₁x₁

                   的导数，这个很简单

                            f’(x₂)= 0

                   3，同理我们继续求....嗯？等等，接下来不用算了！为什么？因为矩阵y的第一行第一个元素a₁₁x₁中只有x₁，所以a₁₁x₁除了对向量x的第一个元素x₁之外的所有元素求偏导，其结果都是0！

                   4，于是y的第一行第一个元素a₁₁x₁对向量x求偏导的结果是a₁₁。

                   5，同理！可以求出：y的第一行第二个元素a₁₂x₂对向量x求偏导的结果是a₁₂，y的第一行第三个元素a₁₃x₃对向量x求偏导的结果是a₁₃。

                   6，总结起来就是：y的第i行第j列元素a_ijx_j对向量x求偏导的结果是a_ij，即：

                  

 

结论和推广

         就向上面那样，我们可以得出几个向量偏导公式：

                  

 标量对向量的导数

         如果 y = x^T·A·x的话，y对向量x求偏导的结果是

                  

         如果这时A有时对称阵，则：

                  

         PS：x^T·A·x其实是一个标量，也就是一个数。

 标量对方阵的导数