数列递推算法的原理

Posted 2023-04-23

什么是递推
所谓递推，是指从已知的初始条件出发，依据某种递推关系，逐次推出所要求的各中间结果及最后结果。其中初始条件或是问题本身已经给定，或是通过对问题的分析与化简后确定。
从已知条件出发逐步推到问题结果，此种方法叫顺推。
从问题出发逐步推到已知条件，此种方法叫逆推。
无论顺推还是逆推，其关键是要找到递推式。这种处理问题的方法能使复杂运算化为若干步重复的简单运算，充分发挥出计算机擅长于重复处理的特点。
递推法是一种重要的数学方法，在数学的各个领域中都有广泛的运用，也是计算机用于数值计算的一个重要算法。
递推算法的首要问题是得到相邻的数据项间的关系（即递推关系）。递推算法避开了求通项公式的麻烦，把一个复杂的问题的求解，分解成了连续的若干步简单运算。一般说来，可以将递推算法看成是一种特殊的迭代算法。

递推的特点
可用递推算法求解的题目一般有以下两个特点：
1、问题可以划分成多个状态；
2、除初始状态外，其它各个状态都可以用固定的递推关系式来表示。
在我们实际解题中，题目不会直接给出递推关系式，而是需要通过分析各种状态，找出递推关系式。

【例1】数字三角形。
如下所示为一个数字三角形。请编一个程序计算从顶到底的某处的一条路径，使该路径所经过的数字总和最大。只要求输出总和。

1、 一步可沿左斜线向下或右斜线向下走；
2、 三角形行数小于等于100；
3、 三角形中的数字为0，1，…，99；
测试数据通过键盘逐行输入，如上例数据应以如下所示格式输入：
5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
【算法分析】
　　此题解法有多种，从递推的思想出发，设想，当从顶层沿某条路径走到第i层向第i+1层前进时，我们的选择一定是沿其下两条可行路径中最大数字的方向前进，为此，我们可以采用倒推的手法，设a[i][j]存放从i,j 出发到达n层的最大值，则a[i][j]=maxa[i][j]+a[i+1][j]，a[i][j]+a[i+1][j+1]，a[1][1] 即为所求的数字总和的最大值。

//【参考程序】
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
int n,i,j,a[101][101];
cin>>n;
for (i=1;i<=n;i++)
for (j=1;j<=i;j++)
cin>>a[i][j]; //输入数字三角形的值
for (i=n-1;i>=1;i--)
for (j=1;j<=i;j++)

if (a[i+1][j]>=a[i+1][j+1]) a[i][j]+=a[i+1][j]; //路径选择
else a[i][j]+=a[i+1][j+1];

　 cout<<a[1][1]<<endl;

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思考
如果要输出最大和的路径该怎么处理呢？

【例2】 骨牌问题
有2 × n的一个长方形方格，用一个1 × 2的骨牌铺满方格。
编写一个程序，试对给出的任意一个n(n>0), 输出铺法总数。
【算法分析】
　（1）面对上述问题，如果思考方法不恰当，要想获得问题的解答是相当困难的。可以用递推方法归纳出问题解的一般规律。
　（2）当n=1时，只能是一种铺法，铺法总数有示为x1=1。
　（3）当n=2时：骨牌可以两个并列竖排，也可以并列横排，再无其他方法，如下左图所示，因此，铺法总数表示为x2=2；

　（4）当n=3时：骨牌可以全部竖排，也可以认为在方格中已经有一个竖排骨牌，则需要在方格中排列两个横排骨牌（无重复方法），若已经在方格中排列两个横排骨牌，则必须在方格中排列一个竖排骨牌。如上右图，再无其他排列方法，因此铺法总数表示为x3=3。
　　由此可以看出，当n=3时的排列骨牌的方法数是n=1和n=2排列方法数的和 参考技术A 数学归纳法

八大算法思想

八大算法：枚举、递推、递归、分治、贪心、试探法、动态迭代和模拟算法思想。

一、枚举算法思想（暴力算法）

　　将问题的所有可能答案一一列举，根据判断条件判断此答案是否合适，一般用循环实现。

　　经典运用：百钱买百鸡、填写运算符

 

二、递推算法思想

　　1.顺推法：从已知条件出发，逐步推算出要解决问题的方法。

　　2.逆推法：从已知结果出发，用迭代表达式逐步推算出问题开始的条件，即顺推法的逆过程。

　　经典运用：斐波那契数列（顺推法）、银行存款（逆推法）

 

三、递归算法思想

　　1.递归过程一般通过函数或子过程实现；

　　2.递归算法在函数或子过程的内部，直接或间接调用自己的算法

　　3.递归算法实际上是把问题转化为规模缩小了的同类问题的子问题，然后再递归调用函数或过程来表示问题的解

　　注意：必须有一个明确的递归结束条件；如果递归次数过多，容易造成栈溢出。

　　经典运用：汉诺塔问题、阶乘问题

 

四、分治算法思想

　　将一个规模为N的问题分解为K个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且与原问题性质相同。只要求出子问题的解，就可得到原问题的解。

　　一般步骤：

　　　　1.分解，将要解决的问题划分成若干个规模较小的同类问题

　　　　2.求解，当子问题划分得足够小时，用较简单的方法解决

　　　　3.合并，按原问题的要求，将子问题的解逐层合并构成原问题的解

　　经典运用：大数相乘问题、比赛日程安排

 

五、贪心算法思想

　　从问题的某一个初始解出发，逐步逼近给定的目标，以便尽快求出更好的解。

　　局限：

　　　　不能保证最后的解是最优的；

　　　　不能求最大最小解问题；

　　　　只能求满足某些约束条件的可行解范围。

　　基本过程：

　　　　1.从问题的某一初始解出发

　　　　2.while能向给定总目标前进一步

　　　　3.求出可行解的一个解元素

　　　　4.由所有解元素组合成问题的一个可行解

　　经典运用：装箱问题、找零方案

 

六、试探算法（回溯法）

　　在试探算法中，放弃当前候选解，并继续寻找下一个候选解的过程称为回溯。扩大当前候选解的规模，以继续试探的过程称为向前试探。

　　（为求得问题的正确解，会先委婉地试探某一种可能情况。在进行试探过程中，一旦发现原来选择的假设情况是不正确的，马上会自觉地退回一步重新选择，然后继续向前试探。反复进行，直到得到解或证明无解时才死心）

　　基本步骤：

　　　　1.针对所给问题，定义问题的解空间

　　　　2.确定易于搜索的解空间结构

　　　　3.以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索

　　经典运用：八皇后问题、29选7彩票组合

 

七、迭代算法（辗转法）

　　是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，解决问题时总是重复利用一种方法。

　　1.确定迭代变量：直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量

　　2.建立迭代关系式：新值与旧值的公式或关系。（解决迭代问题的关系）

　　3.对迭代过程进行控制：确定迭代过程什么时候结束

　　　　所需的迭代次数是个确定值，可以计算出来：可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；

　　　　所需的迭代次数无法确定：需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。

　　经典运用：求平方根问题

 

八、模拟算法思想

　　对真实事物或者过程的虚拟。

　　经典运用：猜数字游戏、掷骰子问题

 

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