学习笔记--APIO 2018 二分专题 By wuvin

Posted 2020-11-04 Rye_Catcher

前言：

在APIO 2018 Day2下午听wuvin讲二分，听了一上午的神仙，现在终于有可以听懂了。

专题：

1. 平均边权最大

   • 题目链接：https://www.questoj.cn/problem/34

   • 题解 by wuvin：

     二分平均值

     然后每条边减去平均值
     变为查找是否存在正环

     可以使用SPFA（反着写松弛）

2. 最大闭合权子图变式

   • 题意：

     一个N个点M条边的图（不一定连通）。

     一个子图的优美程度定义为子图中的边数/子图的点数

     现在你需要求出最大能得到的优美程度是多少？

   • 题解by wuvin:

     照套路我们二分一下

     然后点带负权，边带正权

     选择边必须选择点

     变成最大权闭合子图，上网络流解决

   然而我并不会网络流求这个...

3. 带权二分系列

   1. BZOJ 2654

      • 题目链接：
        https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2654

      • 题解by wuvin：

        如果我们对所有白色边的边权增加\(M*maxW\),那么最小生成树会得到一个白色边尽量少的方案。

        如果我们对所有白色边的边权增加\(-M*maxW\),那么最小生成树会得到一个白色边尽量多的方案。

        我们定义这个给白色边的额外权值为C。随着C从小到大遍历\([-M \times maxW,M \times maxW]\)，那么我们的最优方案中的白色边会逐渐减少。

        如果某个C下，我们最优方案刚好得到K条边，那么这就是原题的最优解。因为最终代价为 原题的最优解+\(C*K\) 其中K和C都是常数，所以说最优解和原题是同一个最优解。

        所以我们可以二分C值，然后使用\(kruskal\)生成树即可。（假设白色边和黑色代价一样的时候选择白色边）

        但是注意一个细节，随着C的增加，白色边边数只是单调不增而已，可能出现C=1是得到5条白色边，C=1+eps是就是3条白色边，这是因为可能存在可以代替白色边的权值刚好之比白色边大1的黑色边。

        所以二分到最后需要特判一下。

   2. APIO 2014

      • 题目链接：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3675

      • 题解by wuvin：

        Ans = C – 每一段内任意两个数的两两的乘积之和

        \(Ans=C-minimize(\sum_{i \in [li,ri]}\sum_{j \in [li,ri]} {Wi \times Wj})\)

        传统做法O(NK)的斜率DP

        我们来参数二分 —— 给每次划分附上一个额外的代价C。

        当\(C= +∞\)时，答案是只分一段。
        当\(C=0\)时，答案是每个数割一刀，分成n段。

        分的段数随着C的增长而减少
        于是可以采用刚刚类似的二分方法。

        二分之后就是正常的斜率DP了。
        最终复杂度 \(O(nlogV)\)

      • 相似：

        SDOI2016 征途