[APIO2014]序列分割 --- 斜率优化DP

Posted 2020-11-02 ReMoon

[APIO2014]序列分割

题目大意：

你正在玩一个关于长度为\(n\)的非负整数序列的游戏。这个游戏中你需要把序列分成\(k+1\)个非空的块。为了得到\(k+1\)块，你需要重复下面的操作\(k\)次：

选择一个有超过一个元素的块（初始时你只有一块，即整个序列）

选择两个相邻元素把这个块从中间分开，得到两个非空的块。

每次操作后你将获得那两个新产生的块的元素和的乘积的分数。你想要最大化最后的总得分。

 

\(n<=10^{5},k<=200\)

 

首先划分完\(k\)块后，发现非常像线性DP模型

自然地想，是不是分数跟划的顺序无关？

可以证明是的（归纳法）

那么，设

\(dp(i,j)\)表示枚举到了\(i\)，第\(1...i\)切了几刀的最大收益。

有\(dp(i,j)=max(dp(k,j-1)+sum[k]*(sum[i]-sum[k]))(1<=k<=i-1)\)

那么展开式子，化为斜率优化的式子：

\(-dp(k,j-1)=sum[k]*sum[i]-sum[k]^{2}-dp(i,j)\)

其中\(k\)为\(sum[k]\)，单调递增

其中\(x\)为\(sum[i]\)，单调递增

要使\(dp(i,j)\)最大，因此维护下凸包，那么可以使用单调队列

空间滚一下就好

 

空间复杂度：\(O(n)\)（忽略记录决策点）

时间复杂度：\(O(nk)\)

 

 

注：被宏定义坑了很久。。。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define sid 100050
#define dd double
#define ll long long
#define ri register int
using namespace std;

#define getchar() *S ++
char RR[30000005], *S = RR;
inline int read(){
    int p = 0, w = 1;
    char c = getchar();
    while(c > ‘9‘ || c < ‘0‘) {
        if(c == ‘-‘) w = -1;
        c =  getchar();
    }
    while(c >= ‘0‘ && c <= ‘9‘) {
        p = p * 10 + c - ‘0‘;
        c = getchar();
    }
    return p * w;
}

ll sum[sid], dp[2][sid];
int lst[205][sid], q[sid], n, k;
bool now = 0, pre = 1;

#define x(g) sum[(g)]
#define y(g) (sum[(g)]*sum[(g)]-dp[pre][(g)])
inline dd s(int i, int j) {
    if(x(i) == x(j)) return -1e18;
    return (dd)(y(i) - y(j)) / (dd)(x(i) - x(j));
}

int main() {
    fread(RR, 1, sizeof(RR), stdin);
    n = read(); k = read();
    for(ri i = 1; i <= n; i ++) sum[i] = sum[i - 1] + read();
    for(ri j = 1; j <= k; j ++) {
        int fr = 1, to = 1; now ^= 1; pre ^= 1;
        for(ri i = 1; i <= n; i ++) {
            while(fr + 1 <= to && s(q[fr], q[fr + 1]) <= sum[i]) fr ++;
            dp[now][i] = dp[pre][q[fr]] + sum[q[fr]] * (sum[i] - sum[q[fr]]);
            lst[j][i]=q[fr];
            while(fr + 1 <= to && s(q[to - 1], q[to]) >= s(q[to], i)) to --;
            q[++ to] = i;
        }
    }
    printf("%lld\n",dp[now][n]);
    int e = n;
    for(ri i = k; i >= 1; i --) {
        e = lst[i][e]; printf("%d ", e);
    }
    return 0;
}

序列分割