克莱因瓶装水动态图 三维空间制造不出来克莱因瓶

Posted 2023-04-19

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虽然克莱因瓶是一个数学猜想，但是真正的克莱因瓶却只能够在四维空间中制作出来，三维空间是制作不出来克莱因瓶的。看看下面克莱因瓶装水动态图，就可以知道这种瓶子是不能够装水的，不管是从什么地方装都一样。

克莱因瓶装水动态图

这种克莱因瓶是数学上的一种完美瞎想，这种瓶子没有任何存放物质功能，其结构就像图片中战士的一样，看起来是非常奇特的一个瓶子。虽然看到有管口，但是水从管口进入，但是不会到瓶子内部就会流出去，而这种现象叫做不可定向的拓扑空间。

在三维空间制作的克莱因瓶，瓶口会和底部的瓶子连接，而在四维空间中瓶口会进入到四维空间中，然后和自身的瓶底相连接，但是不会和自身的平面相连接，这样水就不会储存在克莱因瓶，然后一直流出来。

其实简单来讲就是几何学中的麦比乌斯带有点相似，人么在这个带子上面沿着一个平面能够走遍所有的平面。而不用从另外一边重新来过，是一种数学拓扑图形，因为麦比乌斯带是平面的，所以在三维空间能过制作出来。

虽然人类提出了四维空间的推理，但是人类至今没有探测到四维空间里面是怎样的，并且四维空间存不存在还是一个未知数。而克莱因瓶也只有确认四维空间存在才可能制作出来，并且只能够在四维空间之中。

克莱因瓶和多维空间

多为空间是人类科学家提出一种猜想，人类提出的许多理论都证明多为空间的存在，著名的爱因斯坦在《相对论》中说三维空间加上时间浙一维就是四维空间，而人类想尽各种方法在三维世界就是造不出克莱因瓶。

而克莱因瓶这个比较丑的瓶子，至今也被许多科学家认为只能够在四维空间中思想。而创造克莱因瓶的数学家，更是为了这个瓶子付出了一生的精力，但是还没有弄出克莱因瓶，如果人类进入四维空间探测，说不定弄够弄清楚克莱因瓶是否存在。

四维空间在许多普通人看来是一种非常神奇的空间，其多了时间一维到底会令世界变成什么样的，许多人也是非常的好奇。但是打破空间的维度是非常困难的异象研究，人类现今还只是处于基础理论状态，未来说不定有机会。

数学帅才克莱因及其启示

打仗的时候，既需要将才又需要帅才。《三国演义》中，五虎上将是优秀的将才，诸葛孔明是优秀的帅才。相比于率领千军万马攻城掠地，诸葛亮更擅长运筹帷幄、决胜千里。打仗是这样，一个学科的发展也是这样，既需要帅才进行战略布局，又需要将才攻克具体的难题。

 

在数学的发展历程中，就有这样一位帅才，他不仅有伟大的数学成果，而且极富组织才能，既是哥廷根数学学派的缔造者和主将，又推动建立了哥廷根应用力学学派，为德国数学乃至世界数学的发展做出了伟大贡献。他，就是菲利克斯·克莱因（ F·Klein，1849-1925 ）。今天，中国已然步入世界数学大国之列，然而，我们距离数学强国还有相当的距离。在这样一个关键节点，揭示克莱因取得的成就及其启示具有重要意义。

首先，让我们来看克莱因取得的主要成就。数学研究方面，他提出爱尔兰根纲领，并在自守函数方面做了奠基性的工作。爱尔兰根纲领，以统一的观点用变换群对几何学作了分类，认为几何学是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问^[1]。这样，就将以往互不相关的几何学以一个统一的、合理的结构呈现，并提供了未来几何学研究的思路、内容和方法。自守函数是圆函数、指数函数、椭圆函数、双曲函数、模函数等重要函数的推广与统一，引进群论加以研究；自守函数在后来的数学发展中具有广泛的应用。可以看到，克莱因并不单是要做某些数学难题，他在某些重要领域梳理数学的历史发展，揭示其内在本质，力图找到打开未来数学世界大门的钥匙。

 

数学学派发展方面，他广揽人才，例如希尔伯特、闵可夫斯基、诺特、外尔等大家，振兴哥廷根数学学派。除了在纯粹数学上的成就外，他还大力提倡应用数学，创建了哥廷根应用数学学派。与此同时，他竭力促进数学、力学和其他基础学科在工程技术中的应用，并在哥廷根大学成立了应用力学系，推动了应用力学的发展。克莱因慧眼识珠，引进普朗特，哥廷根应用力学学派从此发扬光大。在数学教育方面，他大力推动数学教改，基础数学与应用数学并重，并将教改推广到全德国，培养出一大批科学与技术兼通、既有深邃眼光又能解决实际问题的人才。他的教改主张如下：

（1）教材的选择排列，应适合学生心理的自然发展；

（2）融合数学各分科，并密切与其他各学科的关系；

（3）不要强调形式的训练，应当强调实用方面、以便充分发展学生对自然界和人类社会诸现象，进行数学观察的能力；

（4）把培养学生的函数思想和空间观察能力作为数学教学的基础，其核心在于强调数学的统一性和应用，他力求代数与几何的统一，并提出把微积分与解析几何下放到中学里。 

克莱因为何可以成为数学帅才呢？这和他的志向、对数学的认识、视野以及知识结构是密不可分的。他研究几何学，是要统一以往各种各样的几何学，给出未来几何学发展的规划与纲领；他来到哥廷根，是怀揣着重振哥廷根大学雄风的雄心壮志的。在经过人才的引进与团结、教育的革新与推广等方面的规划和不懈努力后，使得哥廷根成为数学家心中的圣地，成为未来数学家的摇篮。可以看到，克莱因志存高远，这是他成为数学帅才的关键之一。而且能看到他极富战略眼光，对几何学的发展、哥廷根的振兴都是有战略布局的。就对数学的认识而言，他并不把数学看成是脱离现实世界的抽象的纯粹的形式。基础数学，来源于它的应用，服务于它的应用，这样就找到了数学发展的来源与动力，数学与其应用紧密结合，极大地激发了数学发展的活力。而且，克莱因视野开阔，知识结构完善，一个视野和知识结构局限在较小领域范围之内的人是不可能成为数学帅才的。

 

克莱因带给我们的最重要的启示，就是要重视数学帅才，培养数学帅才。何谓数学帅才呢？数学帅才是解决数学发展战略问题的人才。那么，数学发展战略问题涵盖了哪些内容呢？首先，就数学研究本身，揭示数学的本质，为数学研究提供统一的基础，完善科学研究方法，揭示数学各部分之间的关系，揭示数学和其他学科之间的关系，建立数学或其某分支的结构体系并指明未来发展的方向等等，属于战略问题。其次，数学研究归根结底是由人来进行的，因此，人才的引进、培养和布局，加强数学工作者之间、数学工作者与其他学科人员的学术交流与合作，避免门户之见甚至是互不买账的局面，使得大家团结起来搞好数学，也属于战略问题。最后，数学的发展需要良好的土壤，数学发展战略问题还包括如何完善数学教育，发展数学文化的问题。好的数学教育，不能只有形式的训练，应该将抽象的形式与具体的应用紧密结合，使受教育者能从具体的问题中提炼出抽象的形式，能从抽象的形式回归到具体的问题。这就需要数学教育重视数学思想的培养，思想的培养，又需要文化的熏陶。试想，非数学专业的人能在闲暇的时候聊数学问题休闲，能坐在咖啡厅里交流对数学的看法，真的到了这一天，我国的数学怎会不走向强大？

数学，是基础学科中的基础，应当与其他学科、工程技术密切结合，奠定良好的根基，实现大的发展。数学的历史从不缺少帅才——笛卡尔、牛顿、莱布尼兹、克莱因、庞加莱、希尔伯特……数学的发展呼唤着帅才，让我们一起培育适合帅才发展的土壤，迎接数学发展的新时代！

参考文献：

[1] 李文林.《数学史概论》[M], 第二版, 高等教育出版社, p243.

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