APIO2016赛艇

Posted 2020-10-31 dyx_diversion

• 首先每个学校的边界范围是\(1e9\)，肯定不能直接\(dp[i][j]\)表示前i所学校，第\(i\)所学校派出\(j\)艘船，但\(b<=500\)所有考虑把\(a,b\)离散，第二维改为当前这个学校派出数量在那个区间里
• 转移的时候，如果前面所有的学校都不在此区间内，那贡献为\(\sum_{i‘=1}^{i}\sum_{j‘=1}^{j}dp[i‘][j‘]\)
• 但是如果有学校要选在该区间内，问题便转化为在一段长度为len的区间内选出k个数，使他们递增，当然，有些数是可以不选的，该方案数为\(\sum_{i=0}^{k}C(k,k-i)*C(len,i)\),这个东西看起来一点都不好算,我们把这个式子化为\(C(len+k,k)\)
• 所以如果现在是第i个学校到第k个学校在此范围内，并且i,k学校强制选择，则方案数为\(C(i-k-1+len,i-k-1)\),贡献为\(\sum_{i‘=i-1}^{1}C(len+i-i‘-1,i-i‘-1)\sum_{k=1}^{i‘-1}\sum_{j‘=1}^{j-1}dp[k][j‘]\)其中&j&是当前枚举的区间

• 对于每一段区间，\(len\)相同，所以我们在枚举区间是处理一下组合数，后面的两重循环用前缀和处理一下，时间复杂度\(O(n^3)\)

  #include<bits/stdc++.h>
  using namespace std;
  typedef int sign;
  typedef long long ll;
  #define For(i,a,b) for(register sign i=(sign)a;i<=(sign)b;++i)
  #define Fordown(i,a,b) for(register sign i=(sign)a;i>=(sign)b;--i)
  const int N=500+5;
  bool cmax(sign &a,sign b){return (a<b)?a=b,1:0;}
  bool cmin(sign &a,sign b){return (a>b)?a=b,1:0;}
  template<typename T>T read()
  {
    T ans=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)&&ch!=‘-‘)ch=getchar();
    if(ch==‘-‘)f=-1,ch=getchar();
    while(isdigit(ch))ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(ch-‘0‘),ch=getchar();
    return ans*f;
  }
  template<typename T>void write(T x,char y)
  {
    if(x==0)
    {
    putchar(‘0‘);putchar(y);
    return;
    }
    if(x<0)
    {
    putchar(‘-‘);
    x=-x;
    }
    static char wr[20];
    int top=0;
    for(;x;x/=10)wr[++top]=x%10+‘0‘;
    while(top)putchar(wr[top--]);
    putchar(y);
  }
  void file()
  {
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("3643.in","r",stdin);
    freopen("3643.out","w",stdout);
    #endif
  }
  int n,a[N],b[N],l[N<<1],tot;
  void input()
  {
  n=read<int>();
  For(i,1,n)
  {
      a[i]=read<int>(),b[i]=read<int>();
      l[++tot]=a[i],l[++tot]=b[i]+1;  
  }
  }
  void init()
  {
  sort(l+1,l+tot+1);
  tot=unique(l+1,l+tot+1)-l-1;
  For(i,1,n)
  {
      a[i]=lower_bound(l+1,l+tot+1,a[i])-l;
      b[i]=lower_bound(l+1,l+tot+1,b[i]+1)-l;
  }
  }
  const int mo=1e9+7;
  int inv[N],dp[N],C[N];
  void work()
  {
  int len;
  inv[1]=1;For(i,2,n)inv[i]=1ll*(mo-mo/i)*inv[mo%i]%mo;
  C[0]=dp[0]=1;
  For(i,1,tot-1)
  {
      len=l[i+1]-l[i];
      For(i,1,n)C[i]=1ll*C[i-1]*(len+i-1)%mo*inv[i]%mo;
      Fordown(j,n,1)if(a[j]<=i&&i+1<=b[j])
      {
          int f=0,pos=1,c=len;
          Fordown(k,j-1,0)
          {
              (f+=1ll*dp[k]*c%mo)%=mo;
              if(a[k]<=i&&i+1<=b[k])c=C[++pos];
          }
          (dp[j]+=f)%=mo;
      }
  }
  int ans=0;
  For(i,1,n)(ans+=dp[i])%=mo;
  write(ans,‘\n‘);
  }
  int main()
  {
  file();
  input();
  init();
  work();
  return 0;
  }