HDU 5730 Shell Necklace（CDQ分治+FFT）

Posted 2020-08-19 forever97‘s blog

 

【题目链接】 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5730

 

【题目大意】

　　给出一个数组w，表示不同长度的字段的权值，比如w[3]=5表示如果字段长度为3，则其权值为5，现在有长度为n的字段，求通过不同拆分得到的字段权值乘积和。

 

【题解】

　　记DP[i]表示长度为i时候的答案，DP[i]=sum_{j=0}^{i-1}DP[j]w[i-j]，发现是一个卷积的式子，因此运算过程可以用FFT优化，但是由于在计算过程中DP[j]是未知值，顺次计算复杂度是O(n²logn)，考虑到加法运算对乘法运算可分配，因此可以采取CDQ分治，利用递归统计每个区间内左边DP值对右边DP值的贡献，对于每次贡献值的计算则利用FFT进行优化，优化时间复杂度至O(nlognlogn)。

 

【代码】

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=524300,P=313;
int n,pos[N];
namespace FFT{
    struct comp{
        double r,i;
        comp(double _r=0,double _i=0):r(_r),i(_i){}
        comp operator +(const comp&x){return comp(r+x.r,i+x.i);}
        comp operator -(const comp&x){return comp(r-x.r,i-x.i);}
        comp operator *(const comp&x){return comp(r*x.r-i*x.i,i*x.r+r*x.i);}
        comp conj(){return comp(r,-i);}
    }A[N],B[N];
    const double pi=acos(-1.0);
    void FFT(comp a[],int n,int t){
        for(int i=1;i<n;i++)if(pos[i]>i)swap(a[i],a[pos[i]]);
        for(int d=0;(1<<d)<n;d++){
            int m=1<<d,m2=m<<1;
            double o=pi*2/m2*t;
            comp _w(cos(o),sin(o));
            for(int i=0;i<n;i+=m2){
                comp w(1,0);
                for(int j=0;j<m;j++){
                    comp& A=a[i+j+m],&B=a[i+j],t=w*A;
                    A=B-t;
                    B=B+t;
                    w=w*_w;
                }
            }
        }if(t==-1)for(int i=0;i<n;i++)a[i].r/=n;
    }
    void mul(int *a,int *b,int *c,int k){
        int i,j;
        for(i=0;i<k;i++)A[i]=comp(a[i],b[i]);
        j=__builtin_ctz(k)-1;
        for(int i=0;i<k;i++){pos[i]=pos[i>>1]>>1|((i&1)<<j);} 
        FFT(A,k,1);
        for(int i=0;i<k;i++){
            j=(k-i)&(k-1);
            B[i]=(A[i]*A[i]-(A[j]*A[j]).conj())*comp(0,-0.25);
        }FFT(B,k,-1);
        for(int i=0;i<k;i++)c[i]=(long long)(B[i].r+0.5)%P;
    }
}
int w[N],a[N],b[N],c[N],F[N];
void CDQ(int l,int r){
    if(l==r){F[l]+=w[l];F[l]%=P;return;}
    int mid=(l+r)>>1;
    CDQ(l,mid); int N=1;
    while(N<r-l)N<<=1;
    for(int i=0;i<=mid-l;i++)a[i]=F[i+l];
    for(int i=mid-l+1;i<N;i++)a[i]=0;
    for(int i=0;i<r-l;i++)b[i]=w[i+1];
    for(int i=r-l;i<N;i++)b[i]=0;
    FFT::mul(a,b,c,N);
    for(int i=mid+1;i<=r;i++){
        F[i]+=c[i-l-1];
        F[i]%=P;
    }CDQ(mid+1,r);
}
int main(){
    while(~scanf("%d",&n)&&n){
          F[0]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&w[i]);
            w[i]%=P;
            F[i]=0;
        }CDQ(1,n);
        printf("%d\n",F[n]);
    }return 0;
}