leetcode-231-Power of Two

Posted 2020-10-31 chenjx85

题目描述：

Given an integer, write a function to determine if it is a power of two.

 

要完成的函数：

bool isPowerOfTwo(int n) 

 

说明：

1、给定一个int型整数，判断它是不是2的幂。首先我们可以确定负数和0都不是2的幂。1是2的0次幂。

2、如果一个数是2的幂的话，那么它可以一直除以2，直到最后等于1。如果在除以2的过程中，不能再除以2了，也就是变成了一个奇数，那么它不是2的幂。

　  根据上述方法，我们可以构造出如下简单的代码：

    bool isPowerOfTwo(int n) 
    {
        if(n==0) return false;
        else if(n==1) return true;
        while(n!=1)
        {
            if(n%2==0)
                n=n/2;
            else
                return false;
        }
        return true;
    }

上述代码实测6ms，beats 83.03% of cpp submissions。时间复杂度为O(logn)

 

3、除了上述方法，我们还有没有其他方法呢？日常逛评论区…

因为2的整数次幂其实在二进制上就是其他位为0，只有一位为1。所以大神又开始处理二进制了，在数学上找关系。

假设n为2的整数次幂，只有一位为1，其他位都为0，那么n&(n-1)必定为0。其他的不满足只有一位为1，其他位为0的条件的数，都不能使得n&(n-1)成立。

 

为什么？举几个例子：（下面为2进制表示）

1和0，成立。1是2的0次幂。

10和01，成立。2是2的1次幂。

11和10，不成立。

100和011，成立。4是2的2次幂。

101和100，不成立。

110和101，不成立。

111和110，不成立。

1000和0111，成立。8是2的3次幂。

1001和1000，不成立。

1010和1001，不成立。

1011和1010，不成立。

1100和1011，不成立。

1101和1100，不成立。

1110和1101，不成立。

1111和1110，不成立。

观察上述举的这么多的例子，我们可以发现，不成立的都是首位都为1的。首位都为1，那么逐位相与的结果必定不是为0。

而只有2的整数次幂n，以及n-1，两者逐位相与的结果才会为0。

 

所以我们可以构造出如下代码：

    bool isPowerOfTwo(int n) 
    {
        if(n<=0)
            return false;
        if((n&(n-1))==0)//(n&(n-1))最外层的括号要加上，因为如果n&(n-1)==0，先计算的是等于号
            return true;
        else
            return false;
    }

时间复杂度缩小到O(1)，而且二进制处理对于计算机来说更加直接，也更加省时间。

 

4、还有另一种更加神奇的方法，笔者本人也是第一次见到，十分新颖。

先附上代码：

    bool isPowerOfTwo(int n) 
    {
        if (n>0 && (1073741824 % n == 0))
            return true;
        else
            return false;
    }

大神的这种方法，来源于对int型整数的深刻了解。

int型整数中最大的2的整数次幂是2^30=1073741824，所有的2^k(k为整数)都能被2^30整除。而那些不是2^k的数，比如因子中含有不包括2的素数呀，或者普通的奇数等，都不能被2^30整除，因为2^30只含有30个2的因子。

上述方法十分新颖独特，复杂度也是O(1)。实测时间跟3中的一样。

不过要说最简单最便于计算机处理的方法，还是3中的位操作法。