数据结构图的基本概念—无/有向图权和网完全图路径与回路

Posted 路遥叶子

tags:

篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了数据结构图的基本概念—无/有向图权和网完全图路径与回路相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

💟作者简介:大家好呀!我是路遥叶子,大家可以叫我叶子哦!❣️    
📝个人主页:【路遥叶子的博客】
🏆博主信息:四季轮换叶,一路招摇胜!

               专栏

        【安利Java零基础】

        【数据结构-Java语言描述】

🐋希望大家多多支持😘一起进步呀!~❤️
🌈若有帮助,还请【关注点赞收藏】,不行的话我再努力努力呀!💪
————————————————
🍁想寻找共同成长的小伙伴,请点击【Java全栈开发社区】

目录

🐋基本概念

        ❣️❣️什么是图?

        ❣️❣️顶点与边

        ❣️❣️无向图

        ❣️❣️有向图

        ❣️❣️权和网

         ❣️❣️完全图

        ❣️❣️稠密图和稀疏图

        ❣️❣️子图和生成子图

        ❣️❣️邻接点

        ❣️❣️顶点的度

        ❣️❣️路径与回路

如果文章对您有帮助,就拿起小手赶紧给博主点赞💚评论❤️收藏💙 一下吧!

 想要了解更多吗?没时间解释了,快来点一点!


​前言

​​提起数据结构,大家最熟悉的恐怕就是数组、链表、二叉树。而对于“图”这种数据结构,很多人只停留在“听说过”阶段。但是,图也是一种非常重要,而且跟现实息息相关的数据结构。

比如,我们在使用百度、高德地图做导航的时候,城市的地图就是一种图结构;当我们用微信、QQ等社交软件的时候,我们的好友关系网也是一种图结构。

图,是一种比树更为复杂的数据结构,树的节点之间是一对多的关系,并且存在父与子的层级划分,而图的顶点(注意在此不叫节点)之间是多对多的关系,并且所有顶点都是平等的,无所谓谁是父谁是子。

举个例子,微信中许许多多的用户组成了一个多对多的朋友关系网,这个关系网就是数据结构中的(Graph)。

​​让我们来详细了解一下图的底蕴吧!

💚❤️💙💚❤❤️💙💚❤️❤💙💚❤️💙❤💚❤️💙💚❤❤️💙💚❤️❤💙❤️💙💚❤


🐋基本概念

❣️❣️什么是图?

图,是一种用节点和边来表示相互关系的数学模型。

简单的说,点用边连起来就叫做图,严格意义上讲,图是一种数据结构,通常表示为:G=(v,E),其中,G表示一个图,v是图G中顶点的有穷非空集合,E是图G中边的有限集合。E(G)也可以为空集。若E(G)为空,则图G只有顶点而没有边。

其实,用句不是很严谨的话来说,图可以看成是没有任何限制的树(比如,可以有环状,可以有多种关系等等)。


❣️❣️顶点与边

  • 图是由顶点集边集组成。

    • 图:一般使用G表示

    • 顶点集:一般使用V表示,是一个有穷非空集合。由顶点组成,例如:u,v 等顶点。

    • 边集:一般使用E表示,是一个有穷集合,可以是空集。由组成,例如:e等边。

    • 记作:G = (V, E)

    • 零图:E可以是空集,此时图G只有顶点没有边,称为零图

  • 例如:

  •  零图:


在图中,最基本的单元是顶点,相当于树中的节点,顶点之间的关联关系,被称为

还有一些图中,顶点之间的关联并不是完全对称的,举个例子比如说微博,你的粉丝列表里有我,但我的粉丝列表里未必有你,类似于这种单方面关注的,顶点之间的边就有了方向的区分,这种带有方向的图称为有向图


❣️❣️无向图

  • 无向边:顶点u和顶点v,在没有方向的情况下形成的边,简称为边。

    • 记作:(u, v) = (v, u),也就是 (u, v) 和 (v, u) 是等同的。

  • 无向图(Undirected Graph):全部由无向边构成的图


❣️❣️有向图

  • 有向边:按照方向,从顶点u到顶点v形成的边,简称为

    • 记作:<u, v>、<v, u> ,也就是<u, v> 和 <v, u> 是不同的

    • 顶点u称为 始点,或弧尾

    • 顶点v称为 终点,或弧头

  • 有向图(Directed Graph)全部由有向边构成的图

💚❤️💙💚❤❤️💙💚❤️❤💙💚❤️💙❤💚❤️💙💚❤❤️💙💚❤️❤💙❤️💙💚❤❤️❤💙


❣️❣️权和网

在一些图中,每一条边并不是完全等同的,使得边具有权重,涉及到权重的图,称为带权图 。

权重与给定边之间的相关的成本。例如:航空公司航班图表,按城市之间的里程加权。

因此,综合有向无向、带权重不带权重,交叉来讲,图有带权重有向的、带权重无向的、不带权重的有向的、不带权重的无向的......

在某些实际场景中,图中的每条边(或弧)会赋予一个实数来表示一定的含义,这种与边(或弧)相匹配的实数被称为"权",而带权的图通常称为。如下图所示,就是一个网结构:

  • 权(Weight):在一个图中,每条边可以标上具有某种含义的数值,此数值称为该边上的权。

    • 通常权是一个非负实数

    • 权可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离、时间或代价等含义。

  • 网(Network):边上标识权的图


 ❣️❣️完全图

在图论的数学领域,完全图是一个简单的无向图,其中每对不同的顶点之间都恰连有一条边相连。完整的有向图又是一个有向图,其中每对不同的顶点通过一对唯一的边缘(每个方向一个)连接。n个端点的完全图有n个端点以及n(n − 1) / 2条边,以Kn表示。它是(k − 1)-正则图。所有完全图都是它本身的团。

  •  无向完全图:每两个顶点之间都存在一条边。无向完全图是用n表示图中顶点数目的一种完全图,该图中每条边都是无方向的。在无向图中,如果任意两个顶点之间都存在边,则称该图为 无向完全图

  • 有向完全图:每两个顶点之间都存在着方向相反的两条边。有向完全图是指概述图中各边都有方向,且每两个顶点之间都有两条方向相反的边的连接图。

  • 完全图有n个顶点,e条边,两者关系:


❣️❣️稠密图和稀疏图

  •  稀疏图和稠密图:这两种图是相对存在的,即如果图中具有很少的边(或弧),此图就称为"稀疏图";反之,则称此图为"稠密图"。
  •  稀疏和稠密的判断条件是:e<nlogn,其中 e 表示图中边(或弧)的数量,n 表示图中顶点的数量。如果式子成立,则为稀疏图;反之为稠密图。

  •  n为顶点数,e为边数,两图的相关计算如下:


❣️❣️子图和生成子图

所有的顶点和边都属于图G的图称为G的子图。含有G的所有顶点的子图称为G的生成子图。

  • 子图(Subgraph)

    • 设有两个图 G=(V, E) 和 G'=(V', E'),若V‘是V的子集,即V’ ∈ V,并且E‘ 是 E的子集,即E’ ∈ E,则称 G‘ 为G的子图,记为 G’ ∈ G。

  • 生成子图(Spanning Subgraph)

    • 若G‘ 为G的子图,并且V’ = V,则称G‘ 为G的生成子图,即包含原图中所有顶点的子图。

  •  导出⼦图(Induced Subgraph)
    •  定义:导出⼦图G’,V’∈V,但对于V’中任⼀顶点,只要在原图G中有对应边,那么就要出现在E’中。

💚❤️💙💚❤❤️💙💚❤️❤💙💚❤️💙❤💚❤️💙💚❤❤️💙💚❤️❤💙❤️💙💚❤


❣️❣️邻接点

假若顶点v 和顶点w 之间存在一条边, 则称顶点v 和w 互为邻接点

在一个无向图中,若存在一条边(u,v),则称顶点u与v互为邻接点

  • 边(u,v)是顶点u和v关联的边

  • 顶点u和v是边(u,v)关联的顶点

  • 例如:以顶点1为端点的3条边是(0,1),(1,2),(1,4)顶点1的3个邻接点分别为 0,2,4

在一个有向图中,若存在一条弧<u,v>,则称顶点u邻接到v,顶点v邻接自u

  • 弧<u,v>和顶点u、v关联。

  • 例如:顶点v0有2条出边<v0,v1>,<v0,v2>,1条入边<v3,v0>,顶点v0邻接到v1和v2,顶点v0邻接自v3


❣️❣️顶点的度

  • 顶点的度(Degree):图中与该顶点相关联边的数目。顶点v的度记为 D(v)。

若一 个图有n个顶点和e条边,则该图所有顶点的度之和与边数满足如下关系:

  •  每条边关联两个顶点,对顶点的度贡献为2,所有全部顶点的度之和为所有边数的2倍 
  • 无向图顶点的度:以该顶点为一个端点的边的数目 ,即该顶点的边的数目

 有向图顶点的度

  • 入度(in degree):顶点v的入边数目,称为该顶点的入度,记为 ID(v)。

    • 以v为终点的弧的数目称为入度。

  • 出度(out degree):顶点v的出边数目,称为该顶点的出度,记为 OD(v)。

    • 以v为起点的弧的数目称为出度。

  • 顶点v的度:等于它的入度和出度之和。记作 D(v) = ID(v) + OD(v)


❣️❣️路径与回路

  •  无论是无向图还是有向图,从一个顶点到另一顶点途径的所有顶点组成的序列(包含这两个顶点),称为一条路径。如果路径中第一个顶点和最后一个顶点相同,则此路径称为"回路"(或"环")

并且,若路径中各顶点都不重复,此路径又被称为"简单路径";同样,若回路中的顶点互不重复,此回路被称为"简单回路"(或简单环)。

  •  拿下图来说,从 V1 存在一条路径还可以回到 V1,此 路径为 V1,V3,V4,V1,这是一个回路(环),而且还是一个简单回路(简单环)。

在有向图中,每条路径或回路都是有方向的。

  • 路径(Path):在一个图中,路径是从顶点u到顶点v所经过的顶点序列

    u=v0,v1,...vm = v

  • 路径长度:路径上边的数目

  • 回路:第一个顶点和最后一个顶点相同的路径,称为回路或环

  • 初等路径:序列中顶点不重复出现的路径。

  • 初等回路:除了 第一个顶点和最后一个顶点 之外,其余顶点不重复出现的回路。

  • 实例1:

路 径 (v0, v2, v3, v1) 是初等路径,其路径长度为3。

路径 (v0, v2, v3, v0, v1) 不是初等路径,其路径长度为4。

路径 (v0, v2, v3, v0) 是初等回路,其路径长度为3。

网中的路径长度:在网中,从始点到终点的路径上各边的权值之和,称为路径长度

  • 实例2:顶点A顶点E的一条路径

    (A, B, D, E) --> 路径长度:10 + 7 + 2 = 19

    ❣️❣️💚❤️💙💚❤❤️💙💚❤️❤💙💚❤️💙❤💚❤️💙💚❤❤️💙💚❤️❤💙❤️💙💚❤


如果文章对您有帮助,就拿起小手赶紧给博主点赞💚评论❤️收藏💙 一下吧!

​​想要了解更多吗?没时间解释了,快来点一点!

路遥叶子的博客_CSDN博客-数据结构,安利Java零基础,spring领域博主路遥叶子擅长数据结构,安利Java零基础,spring,等方面的知识,路遥叶子关注spring,spring boot,python,架构,java,mysql领域.https://blog.csdn.net/zsy3757486?spm=1011.2266.3001.5343https://blog.csdn.net/zsy3757486?spm=1011.2266.3001.5343

图查找排序

ch5图

 

1.图的定义和基本概念

定义:G=(V,E),V是图G中的顶点的有限非空集;E是图G中顶点之间的关系(边)集合。V一定非空。

基本概念:
有向图、无向图、简单图、多重图、完全图、子图、连通图、连通分量、强连通图、强连通分量、生成树、生成森林、度(无向图)、入出度(有向图)、边的权和网、路径、路径长度。

无向图:连通(顶点v到顶点w有路径存在),连通图(图中任意两个顶点都是连通的)。

有向图:强连通(顶点v到顶点w和顶点w到顶点v都有路径存在),强连通图(任何一对顶点都是强连通的)。

路径长度:路径上边的数目。

2.图的存储以及基本操作

 1)顺序存储结构:邻接矩阵、邻接表

邻接矩阵法:vi到vj有边相连,则A[i][j]为1,否则为0;适合稠密图。

邻接表法:适合稀疏图。

2)链式存储结构:十字链表、邻接多重表

十字链表:是有向图的一种链式存储结构。

 

邻接多重表:是无向图的一种链式存储结构。

3)图的基本操作

比如判断图G是否存在边<x,y>,列出图G中与结点x邻接的边,在图G中插入(删除)顶点x,从图中删除或者添加某边等等。

3.图的遍历

1)BFS(Breadth-First-Search)

是一种分层查找的过程,借助辅助队列。(图的BFS与二叉树的层序遍历完全一致)

基本思想:首先访问顶点v,接着访问v各个未被访问过的邻接顶点w1、w2、w3、、、、;然后再依次访问w1各个未被访问过的邻接顶点,再依次访问w2各个未被访问过的邻接顶点,、、、;再从这些访问过的顶点出发,再访问它们所有未被访问过的邻接顶点、、、、以此类推,一直到图中所有的顶点都被访问过为止。

无论是存储方式是邻接矩阵(顺序存储)还是邻接表(链式存储),BFS都需要借助一个辅助队列Q,n个顶点都需要入队一次,在最坏情况下,空间复杂度是O(V)。

当采用邻接表的存储方式时,每个顶点均需要搜索一次(或入队一次),故时间复杂度为O(V),在搜索任一顶点的邻接点时,每条边至少访问一次,故时间复杂度为O(E),故算法的总时间复杂度是O(V+E)。

当采用邻接矩阵的存储方式时,查找每个顶点的邻接点所需时间为O(V),故算法总时间复杂度为O(V*V)。

BFS算法求解单源最短路径问题,广度优先生成树问题。

2)DFS(Depth-First-Search)

类似于树的先序遍历,用到递归,借助递归工作栈,空间复杂度为O(V)。遍历图的实质上是对每个顶点查找其邻接点的过程,其耗费的时间取决于所采用的存储结构。

基本思想:首先访问顶点v,然后由v出发,访问与v邻接且未被访问的任一顶点w1,再访问与w1邻接且未被访问的任一顶点w2,。。。。重复以上过程。当不能再继续向下访问时,依次退回到最近被访问的顶点,若它还有邻接顶点未被访问过,则从该点继续上述搜索过程,直到图中所有顶点均被访问过为止。

当以邻接表表示时,查找所有顶点的邻接点所需时间为O(E),访问顶点所需时间为O(V),故总的时间复杂度为O(V+E)。

当以邻接矩阵表示时,查找每个顶点的邻接点所需时间为O(V),故总的时间复杂度为O(V*V)。

 4.图的应用(最小生成树、最短路径、拓扑排序、关键路径)

1)最小生成树

Prim算法、Kruskal算法

2)最短路径

Dijkstra算法、Floyd算法

3)拓扑排序

4)关键路径

 

以上是关于数据结构图的基本概念—无/有向图权和网完全图路径与回路的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

考研数据结构与算法图论

数据结构图之概念

图的基本概念

图查找排序

第六章学习小结

数据结构——图