分部积分法习题
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了分部积分法习题相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
前置知识：分部积分法
例题1
计算 ∫ ln x d x \\int \\ln xdx ∫lnxdx
解：
\\qquad
原式
=
x
ln
x
−
∫
x
d
(
ln
x
)
=
x
ln
x
−
∫
x
⋅
1
x
d
x
=x\\ln x-\\int xd(\\ln x)=x\\ln x-\\int x\\cdot\\dfrac 1xdx
=xlnx−∫xd(lnx)=xlnx−∫x⋅x1dx
= x ln x − ∫ d x = x ln x − x + C \\qquad\\qquad =x\\ln x-\\int dx=x\\ln x-x+C =xlnx−∫dx=xlnx−x+C
例题2
计算 ∫ arcsin x d x \\int \\arcsin xdx ∫arcsinxdx
解：
\\qquad
原式
=
x
arcsin
x
−
∫
x
d
(
arcsin
x
)
=
x
arcsin
x
−
∫
x
⋅
1
1
−
x
2
d
x
=x\\arcsin x-\\int xd(\\arcsin x)=x\\arcsin x-\\int x\\cdot \\dfrac1\\sqrt1-x^2dx
=xarcsinx−∫xd(arcsinx)=xarcsinx−∫x⋅1−x21dx
= x arcsin x − ∫ 1 2 1 − x 2 d ( 1 − x 2 ) = x arcsin x − 1 − x 2 + C \\qquad\\qquad =x\\arcsin x-\\int \\dfrac12\\sqrt1-x^2d(1-x^2)=x\\arcsin x-\\sqrt1-x^2+C =xarcsinx−∫21−x21d(1−x2)=xarcsinx−1−x2+C
例题3
计算 ∫ ln ( 1 + x 2 ) d x \\int \\ln(1+x^2)dx ∫ln(1+x2)dx
解：
\\qquad
原式
=
x
ln
(
1
+
x
2
)
−
∫
x
d
[
ln
(
1
+
x
2
)
]
=
x
ln
(
1
+
x
2
)
−
∫
x
⋅
1
1
+
x
2
⋅
2
x
d
x
=x\\ln (1+x^2)-\\int xd[\\ln(1+x^2)]=x\\ln(1+x^2)-\\int x\\cdot \\dfrac11+x^2\\cdot 2xdx
=xln(1+x2)−∫xd[ln(1+x2)]=xln(1+x2)−∫x⋅1+x21⋅2xdx
= x ln ( 1 + x 2 ) − 2 ∫ x 2 1 + x 2 d x = x ln ( 1 + x 2 ) − 2 ∫ ( 1 − 1 1 + x 2 ) d x \\qquad\\qquad =x\\ln(1+x^2)-2\\int \\dfracx^21+x^2dx=x\\ln (1+x^2)-2\\int (1-\\dfrac11+x^2)dx =xln(1+x2)−2∫1+x2x2dx=xln(1+x2)−2∫(1−1+x21)dx
= x ln ( 1 + x 2 ) − 2 x + 2 arctan x + C \\qquad\\qquad =x\\ln (1+x^2)-2x+2\\arctan x+C =xln(1+x2)−2x+2arctanx+C
例题4
计算 ∫ x cos x d x \\int x\\cos xdx ∫xcosxdx
解：
\\qquad
原式
=
∫
x
d
(
sin
x
)
=
x
sin
x
−
∫
sin
x
d
x
=
x
sin
x
+
cos
x
+
C
=\\int xd(\\sin x)=x\\sin x-\\int \\sin xdx=x\\sin x+\\cos x+C
=∫xd(sinx)=xsinx−∫sinxdx=xsinx+cosx+C
分部积分法的快速运算 表格法
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