CF1748E Yet Another Array Counting Problem

Posted 2023-04-05 tanjunming2020

CF1748E Yet Another Array Counting Problem

题目大意

对于一个长度为$n$的序列$x$，其在区间$[l,r]$的最左端最大值位置为满足$l\le i\le r$且$x_i=\underset{j=l}{\overset{r}{\max }}{x}_j$的最小的整数$i$。

给定两个整数$n,m$和一个长度为$n$的序列$a$，求满足下列条件的序列$b$的数量：

• 序列$b$的长度为$n$，且对于任意整数$i(1\le i\le n)$都有$1\le b_i\le m$成立
• 对于任意整数$l,r(1\le l\le r\le n)$，$a,b$在区间的$[l,r]$的最左端最大值位置相同

输出满足条件的序列$b$的数量，对$10^9+7$取模。

有$t$组数据。

数据范围

$1\le t\le 10^3$
$2\le n,m\le 10^5,\sum n\times m\le 10^6$
对于所有$i(1\le i\le n)$，满足$1\le a_i\le m$

题解

首先我们可以想到，对于一个区间$[l,r]$和它的最左端最大值位置$x$，我们可以把这个区间分成$[l,x-1]$和$[x+1,r]$两个区间来处理。

设$f(l,r,x,v)$表示区间$[l,r]$的最左端最大值位置为$x$且其值小于等于$v$时这个区间有多少种放法。那么有

$f(l,r,x,v)=f(l,r,x,v-1)+f(l,x-1,v{l}_x,v-1)\times f(x+1,r,v{r}_x,v)$

因为一个最左端最大值位置只对应一段区间，且一段区间只有一个最左端最大值位置，所以我们可以用$v{l}_x$表示以$x$为最左端最大值位置的区间$[l,r]$中$[l,x-1]$的最左端最大值位置，$v{r}_x$表示$[x+1,r]$的最左端最大值位置。

因为一开始只有一段区间$[1,n]$，而每次加入一个最左端最大值位置只会多算两个区间，所以总共只会有不超过$2n+1$个区间，可以$O(n\log n)$将所有$v{l}_x,v{r}_x$计算出来。

然后就是计算$f(l,r,x,v)$了。用记忆化搜索，每个位置只会被计算一次，那么这样的时间复杂度为$O(nm)$。

总时间复杂度为$O(\sum n\times m+n\log n)$。

code

#include<bits/stdc++.h>
#define lc k<<1
#define rc k<<1|1
using namespace std;
int T,n,m,now,bz,a[200005],v1[200005],v2[200005],tr[1000005],th[1000005];
long long mod=1000000007;
vector<long long>f[200005];
void build(int k,int l,int r)
	if(l==r)
		tr[k]=a[l];th[k]=l;
		return;
	
	int mid=l+r>>1;
	build(lc,l,mid);
	build(rc,mid+1,r);
	if(tr[lc]>=tr[rc])
		tr[k]=tr[lc];th[k]=th[lc];
	
	else
		tr[k]=tr[rc];th[k]=th[rc];
	

void find(int k,int l,int r,int x,int y)
	if(l>=x&&r<=y)
		if(now<tr[k])
			now=tr[k];bz=th[k];
		
		return;
	
	int mid=l+r>>1;
	if(x<=mid) find(lc,l,mid,x,y);
	if(y>mid) find(rc,mid+1,r,x,y);

int pt(int l,int r)
	if(l>r) return 0;
	now=0;bz=0;
	find(1,1,n,l,r);
	int x=bz;
	v1[x]=pt(l,x-1);v2[x]=pt(x+1,r);
	return x;

long long gt(int l,int r,int x,int v)
	if(l>r||v==0) return 0;
	if(l==r) return v;
	if(f[x][0]) return f[x][v];
	for(int i=1;i<=m;i++)
		long long re=1;
	
CodeForces 863D     Yet Another Array Queries Problem   暴力

CodeForces 863D 
题意：长度为 n 的数组 a[] ，有两个操作： 1、区间 [l,r] 的数向右移，即 a[i+1] 变为 a[i]，a[l] 变为 a[r] 。 2、反转区间 [l,r] 。 最后有 m 个询问 q，输出最后得到的数组里 a[q] 的值。
tags： 一开始觉得是什么数据结构，发现 m <= 100，这样就直接暴力，对于每个询问从后往前反过来操作一遍。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#define rep(i,a,b) for (int i=a; i<=b; ++i)
#define per(i,b,a) for (int i=b; i>=a; --i)
#define mes(a,b)  memset(a,b,sizeof(a))
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MP make_pair
#define PB push_back
#define fi  first
#define se  second
typedef long long ll;
const int N = 200005;

int n, q, m, a[N], t[N], l[N], r[N];
int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &q, &m);
    rep(i,1,n) scanf("%d", &a[i]);
    rep(i,1,q) scanf("%d%d%d", &t[i], &l[i], &r[i]);
    int bi;
    rep(j,1,m)
    {
        scanf("%d", &bi);
        per(i,q,1)
        {
            if(l[i]<=bi && bi<=r[i])
            {
                if(t[i]==1)
                {
                    bi = (bi==l[i]) ? r[i] : bi-1;
                }
                else
                {
                    bi = l[i]+(r[i]-bi);
                }
            }
        }
        printf("%d ", a[bi]);
    }

    return 0;
}
以上是关于CF1748E Yet Another Array Counting Problem的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
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