代码随想录算法训练营第四十一天| 343. 整数拆分 96.不同的二叉搜索树

Posted 2023-04-03 RuojiFW

343. 整数拆分

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思路： 动态规划
动规5步曲：

1、确定dp数组及其下标含义：
dp[i]: 拆分数字 i ，可以得到的最大乘积为dp[i]

2、确定递推公式
从 1 开始遍历 j 然后两种方式得到dp[i]

1. j * (i - j) 这是拆分为两个数相乘的情况
2. j * dp[i-j] 这种是拆分成3种以上的情况，想想dp[i]的含义，表示拆分i，
   那么这里就可以表示拆分i-j的情况，这里不容易想出来，需要仔细想
   所以递推公式是：max(j * (i - j), j * dp[i-j])
   然后在取最大值的时候在对比dp[i],拿到真正的最大乘积

3、dp初始化
这里还是比较好想的，因为拆分0和1没有什么意义，那么就从dp[2]开始拆分，
dp[2] = 1 表示拆分2的最大乘积是1

4、确定遍历顺序
dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]。

因为拆分一个数n 使之乘积最大，那么一定是拆分成m个近似相同的子数相乘才是最大的。
例如 6 拆成 3 * 3， 10 拆成 3 * 3 * 4。 100的话 也是拆成m个近似数组的子数 相乘才是最大的。
只不过我们不知道m究竟是多少而已，但可以明确的是m一定大于等于2，既然m大于等于2，也就是最差也应该是拆成两个相同的 可能是最大值。
那么 j 遍历，只需要遍历到 n/2 就可以，后面就没有必要遍历了，一定不是最大值。

class Solution 
public:
    int integerBreak(int n) 
        //1、确定dp数组以及其下标含义：i拆分的数， dp[i]拆分i的最大乘积
        //2、确定递推公式：固定i，那么拆分就有 i*(i-j)z种情况，拆分(i-j)那么有i*dp[i-j]
        //3。初始化：只有拆分dp[2]有意义，而乘积等于1

        vector<int>dp(n+1);
        dp[2] = 1;

        for (int i = 3; i <= n; i++) 
            for (int j = 1; j <= i / 2; j++) 
                dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
            
        

        return dp[n];
    
;

总结： 这里做了优化，是因为我们每次拆分的时候，这拆分的值值越接近，乘积越大
总体来说做这道题还是不熟练，对于dp我确实是没有什么天赋，只能寄托于以后多刷几遍来增加手感了。

96.不同的二叉搜索树

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思路：
1、确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i] ： 到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]。

也可以理解是i个不同元素节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i] ，都是一样的。
以下分析如果想不清楚，就来回想一下dp[i]的定义

2、确定递推公式
在上面的分析中，其实已经看出其递推关系， dp[i] += dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]
j相当于是头结点的元素，从1遍历到i为止。

所以递推公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ，j-1 为j为头结点左子树节点数量，i-j 为以j为头结点右子树节点数量

3、dp数组如何初始化
初始化，只需要初始化dp[0]就可以了，推导的基础，都是dp[0]。

那么dp[0]应该是多少呢？

从定义上来讲，空节点也是一棵二叉树，也是一棵二叉搜索树，这是可以说得通的。

从递归公式上来讲，dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量] 中以j为头结点左子树节点数量为0，也需要dp[以j为头结点左子树节点数量] = 1， 否则乘法的结果就都变成0了。

所以初始化dp[0] = 1

4、确定遍历顺序
首先一定是遍历节点数，从递归公式：dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出，节点数为i的状态是依靠 i之前节点数的状态。

那么遍历i里面每一个数作为头结点的状态，用j来遍历。

class Solution 
public:
    int numTrees(int n) 
        vector<int>dp(n+1);

        dp[0] = 1;

        for (int i = 1; i <= n; i++) 
            for (int j = 1; j <= i; j++) 
                dp[i] += dp[i-j] * dp[j-1];
            
        
        return dp[n];
    
;

代码随想录算法训练营第四十一天 | 343.整数拆分96.不同的二叉搜索树

打卡第41天，基础动态规划继续。

今日任务

• 343.整数拆分
• 96.不同的二叉搜索树

343.整数拆分

给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。

返回 你可以获得的最大乘积 。

示例 1:

输入: n = 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

输入: n = 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

提示:

• 2 <= n <= 58

我的题解

1. 确定dp以及下标定义
   $2 = 1 + 1； $
   $最大乘积1\ast 1=1；$

   $3 = 1 + 2； $
   $3=1+1+1；$
   $最大乘积1\ast 2=2；$

   $4=1+3；$
   $4=2+2；$
   $4=1+1+2；$
   $4=1+1+1+1；$
   $最大乘积2\ast 2=4；$

   $5=1+4；$
   $5=2+3；$
   $5=1+2+2；$
   $5=1+1+3；$
   $5=1+1+1+2；$
   $5=1+1+1+1+1；$
   $最大乘积2\ast 3=6；$

   可以看到后面的数是由前面的数相加得到的，比如 1 和 4 合成 5， 2 和 3 合成 5，而 4 由 2 和 2 或者 1 和 3 合成，2 由 1 和 1组成，3 由 1 和 2 合成；
   一顿组合之后合成 5 的正整数算式就有好几条，但是最大乘积我们只需要用到 两个正整数合成的 那些算式，多于两个正整数合成的可以有两个正整数合成的算式推导。所以dp用来保存该数最大乘积，每次求该数最大乘积，我们就看两个正整数合成的 那些算式 比较各算式两个数的最大乘积（dp数）的最大乘积，大的更新存入dp数组。

2. 确定递推公式
   $ dp[i] = max(dp[i], dp[r] * dp[l]); $

3. dp初始化
   dp[1] = 1; dp[2] = 2; dp[3] = 3;
   为什么要这样初始化，因为 1 不由其他数合成，但是其他数会用到它来合成，而他在其他算式的作用就是 1 的作用；而 2 和 3 不保存该数最大的乘积，是因为这两个数拆数最大乘积都小于本身，那我们本来要求其他数最大乘积，不拆开比拆开还大，那肯定选大的。

4. 确定遍历顺序
   因为后面的结果要由前面的结果推导，所以第一次遍历顺序直接从左到右；

5. 推导递推过程
   

class Solution 
public:
    int integerBreak(int n) 
        if(n == 2) return 1;
        if(n == 3) return 2;
        vector<int> dp(n + 1, 0);
        dp[1] = 1; dp[2] = 2; dp[3] = 3; //初始化
        for(int i = 4; i <= n; i++) 
            for(int l = 1, r = i - 1; l <= r; l ++, r --) 
                dp[i] = max(dp[i], dp[r] * dp[l]); // 递推公式
            
        
        return dp[n];
    
;

• 时间复杂度：O(n^2)
• 空间复杂度：O(n)

代码随想录

可以从1遍历j，然后有两种渠道得到dp[i].

一个是j * (i - j) 直接相乘。

一个是j * dp[i - j]，相当于是拆分(i - j)，对这个拆分不理解的话，可以回想dp数组的定义。

j 怎么就不拆分呢？

j是从1开始遍历，拆分j的情况，在遍历j的过程中其实都计算过了。那么从1遍历j，比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。
递推公式
$dp[i]=max(dp[i],max(j\ast (i-j),dp[i-j]\ast j));$

可以这么理解，j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘，而j * dp[i - j]是拆分成两个以及两个以上的个数相乘。

class Solution 
public:
    int integerBreak(int n) 
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[2] = 1; //初始化
        for(int i = 3; i <= n; i++) 
            for(int j = 1; j <= i / 2; j ++) 
                dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), dp[i - j] * j)); // 递推公式
            
        
        return dp[n];
    
;

• 时间复杂度：O(n^2)
• 空间复杂度：O(n)

96.不同的二叉搜索树

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1：

输入：n = 3
输出：5

示例 2：

输入：n = 1
输出：1

提示：

• 1 <= n <= 19

代码随想录

1. dp以及下标定义
   dp[i] ： 1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]。
2. 递推公式
   dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ，j-1 为j为头结点左子树节点数量，i-j 为以j为头结点右子树节点数量
3. 初始化
   从递归公式上来讲，dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量] 中以j为头结点左子树节点数量为0，也需要dp[以j为头结点左子树节点数量] = 1， 否则乘法的结果就都变成0了。
   所以初始化dp[0] = 1
4. 遍历顺序
   节点数为i的状态是依靠 i之前节点数的状态。
   那么遍历i里面每一个数作为头结点的状态，用j来遍历。
5. 推导
   

class Solution 
public:
    int numTrees(int n) 
        vector<int> dp(n + 1, 0);
        dp[0] = 1 ; 
        for(int i = 1; i <= n; i++) 
            for(int j = 1; j <= i; j++)
                dp[i] += dp[i - j] * dp[j - 1];
            
        
        return dp[n];
    
;