bzoj3677: [Apio2014]连珠线

Posted 2020-10-16 秋千旁的蜂蝶~

Description

在列奥纳多·达·芬奇时期，有一个流行的童年游戏，叫做“连珠线”。不出所料，玩这个游戏只需要珠子和线，珠子从1到礼编号，线分为红色和蓝色。游戏 
开始时，只有1个珠子，而接下来新的珠子只能通过线由以下两种方式被加入： 
1．Append(w，杪)：-个新的珠子w和一个已有的珠子杪连接，连接使用红线。 
2．Insert(w，u，v)：-个新的珠子w加入到一对通过红线连接的珠子（u，杪） 
之间，并将红线改成蓝线。也就是将原来u连到1的红线变为u连到w的蓝线与W连到V的蓝线。 
无论红线还是蓝线，每条线都有一个长度。而在游戏的最后，将得到游戏的 
最后得分：所有蓝线的长度总和。 
现在有一个这个游戏的最终结构：你将获取到所有珠子之间的连接情况和所 
有连线的长度，但是你并不知道每条线的颜色是什么。 
你现在需要找到这个结构下的最大得分，也就是说：你需要给每条线一个颜 
色f红色或蓝色），使得这种连线的配色方案是可以通过上述提到的两种连线方式 
操作得到的，并且游戏得分最大。在本题中你只需要输出最大的得分即可。 

Input

第一行是一个正整数n，表示珠子的个数，珠子编号为1刭n。 
接下来n-l行，每行三个正整数ai，bi(l≤ai10000)，表示有一条长度为ci的线连接了珠子ai和珠子bi。 

Output

输出一个整数，为游戏的最大得分。 

Sample Input

5
1 2 10
1 3 40
1 4 15
1 5 20

Sample Output

60

HINT

数据范围满足1≤n≤200000。 

 

题解：

看到这道题，可以从两个角度入手考虑：

1）对于这棵树最终的形态，考虑哪些边可能是蓝边，并计算最大值

2）考虑这棵树建树的过程。在一开始只有根节点，后来不断加点过程中有哪些边是蓝边，并计算最大值

 

我一开始是从第一个角度考虑的

通过手动根据样例画图发现，蓝边一定是两条两条地连在一起（因为每次Insert操作都是两边一起变蓝，且这两边是相邻的）

考虑这两条蓝边（指同时出现的那两条蓝边）可能的连法：

连法一如两条蓝色边所示，连法二如两条绿色边所示

一个点若是两条蓝边的中心点，那两条蓝边要么是与自己两个孩子的连边，要么是与自己一个孩子的连边加上自己与父节点的连边

然后就可以树形dp了

f[0][i]表示i号点不做两条蓝边中心点：

f[0][i]=它每一个son可得到的最大值 的和

f[1][i]表示i号点做两条蓝边中心点，且是连法一：

f[1][i]=（选两个son，每个son不向i连边可得最大值 的和）+（这两个son到点i边的长度）+（其他son可得到的最大值 的和）

f[2][i]表示i号点做两条蓝边中心点，是连法二：

f[2][i]=（选一个son，该son不向i连边可得到的最大值）+（这个son到点i边的长度）+（点i到父节点边的长度）+（其他son可得到的最大值 的和）

大体思路就是这样，看起来很对吧……

然而是有问题的！我一开始就以为这样是对的，但发现WA，洛谷上也只得了20分……

 

一组反例：

按照上面的算法，最大值时蓝边应这么连

但注意两个黄框

必须先存在4、6才能出现5，必须先存在3、8才能出现2

对于7，必须2、5都存在且连上了一条边才可以出现

假设先以9-4-6-5的顺序把5及其子树都出现了，要想再出现2，需要让3、8出现

但3、8都是叶节点，唯一与2的连边还是蓝边，说明他们只能是一开始连了一条边，之后插入2

但这时5及其子树已插入完了，3、8没有与已存在的这棵树连在一起

2想出现的话只能3、8单成一棵树，与题目不符！

 

为了保证符合题意，我们考虑第二个角度

假设已确定根节点了，那么由题意，所有“两条蓝边”都是上面所说的连法二，不可能为连法一

这样同样可以树形dp，而且比上面的还简单

（转移方法与上面类似，不详细说了）

但是这是在确定一个根节点的情况下，而每个点都可能是根节点。

暴力每次树形dp的话O(n²)伤不起……

于是考虑换根。

从上到下换根。每次选当前“根节点”的一个未当过根的子节点作为新的根节点，把当前这个点作为它的子节点，O(1)维护各种信息

这样就很快了，只是细节需要多多多多多多注意一下

 

代码：

（注：为了方便计算，我多用了几个数组计算不同的东西，细节有点多）

 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 #include<algorithm>
 4 #define INF 2100000000
 5 using namespace std;
 6 
 7 const int N = 200005;
 8 int f[4][N],ma[N][2];
 9 
10 struct node{
11     int v,len;
12     node *next;       
13 }pool[2*N],*h[N];
14 int cnt;
15 void addedge(int u,int v,int len){
16     node *p=&pool[++cnt],*q=&pool[++cnt];
17     p->v=v;p->next=h[u];h[u]=p;p->len=len;
18     q->v=u;q->next=h[v];h[v]=q;q->len=len;     
19 }
20 
21 int fa[N],dis[N];
22 int n;
23 void dfs(int u){
24     int v,num1=-INF,num2=-INF,m1=0,m2=0;
25     f[0][u]=f[1][u]=f[2][u]=f[3][u]=0;
26     for(node *p=h[u];p;p=p->next)
27         if(!fa[v=p->v]){
28             fa[v]=u;
29             dis[v]=p->len;
30             dfs(v);
31             f[0][u]+=f[2][v];
32             if(f[3][v]>num1) num2=num1,m2=m1,num1=f[3][v],m1=v;
33             else if(f[3][v]>num2) num2=f[3][v],m2=v;
34         }
35     if(m1) f[1][u]=dis[u]+num1+f[0][u];
36     ma[u][0]=m1;ma[u][1]=m2;
37     f[2][u]=max(f[1][u],f[0][u]);
38     f[3][u]=f[0][u]-f[2][u]+dis[u];
39 }
40 
41 int ans=0;
42 void dfs2(int u){
43     int v;
44     int pre[4],mm[2],ff,d;
45     for(int i=0;i<4;i++) pre[i]=f[i][u];
46     d=dis[u];
47     
48     ans=max(ans,f[0][u]);
49     for(node *p=h[u];p;p=p->next)
50         if(fa[v=p->v]==u){
51             f[0][u]=f[0][u]-f[2][v];
52             dis[u]=p->len;
53             if(ma[u][0]==v)
54                 if(ma[u][1]) f[1][u]=f[0][u]+f[3][ma[u][1]]+dis[u];
55                 else f[1][u]=0;/**/
56             else if(ma[u][0]) 
57                 f[1][u]=f[0][u]+f[3][ma[u][0]]+dis[u];
58             f[2][u]=max(f[1][u],f[0][u]);
59             f[3][u]=f[0][u]-f[2][u]+dis[u];
60             mm[0]=ma[v][0];mm[1]=ma[v][1];
61             if((mm[0] && f[3][u]>f[3][mm[0]]) || !mm[0]) ma[v][1]=ma[v][0],ma[v][0]=u;
62             else if((mm[1] && f[3][u]>f[3][mm[1]]) || !mm[1]) ma[v][1]=u;
63             
64             ff=f[0][v];
65             f[0][v]+=f[2][u];
66             
67             dfs2(v);
68             
69             for(int i=0;i<4;i++) f[i][u]=pre[i];
70             dis[u]=d;f[0][v]=ff;
71             ma[v][0]=mm[0];ma[v][1]=mm[1];
72         }
73 }
74 
75 int main()
76 {
77     int i,a,b,c;
78     scanf("%d",&n);
79     for(i=1;i<n;i++)
80         scanf("%d%d%d",&a,&b,&c),addedge(a,b,c);
81         
82     fa[1]=-1;dis[1]=0;
83     dfs(1);
84     dfs2(1);
85     
86     printf("%d\\n",ans);
87     
88     return 0;    
89 }

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