[Apio2014]序列分割

Posted 2020-10-05 日拱一卒 功不唐捐

3675: [Apio2014]序列分割

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Description

小H最近迷上了一个分隔序列的游戏。在这个游戏里，小H需要将一个长度为n的非负整数序列分割成k+1个非空的子序列。为了得到k+1个子序列，小H需要重复k次以下的步骤：

1.小H首先选择一个长度超过1的序列（一开始小H只有一个长度为n的序列——也就是一开始得到的整个序列）；

2.选择一个位置，并通过这个位置将这个序列分割成连续的两个非空的新序列。

 

每次进行上述步骤之后，小H将会得到一定的分数。这个分数为两个新序列中元素和的乘积。小H希望选择一种最佳的分割方式，使得k轮之后，小H的总得分最大。

 

Input

输入第一行包含两个整数n，k（k+1≤n）。

第二行包含n个非负整数a1，a2，...，an（0≤ai≤10^4），表示一开始小H得到的序列。

Output

输出第一行包含一个整数，为小H可以得到的最大分数。

Sample Input

7 3
4 1 3 4 0 2 3

Sample Output

108

 

首先可以证明分数与切割顺序无关

dp[i][j]表示到第i个数，分了j组的最大分数

可以通过枚举前j-1组分到了哪儿来转移

状态转移方程  dp[i][j]=dp[k][j-1]+sum[k]*(sum[i]-sum[k])  sum表示前缀和

第二维压去，斜率优化

 

 

一定注意单调队列的初始值

因为分j组至少要有j个数，所以枚举要从j开始

而它必须由前j-1个数分为了j-1组转移过来

所以单调队列开始有j-1

 

如果用斜率优化分母可能为0，先把0去掉

 

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define N 100001
using namespace std;
long long sum[N],now[N],last[N];
int head,tail,q[N],a[N];
void read(int &x)
{
    x=0; char c=getchar();
    while(!isdigit(c))  c=getchar();
    while(isdigit(c)) { x=x*10+c-‘0‘; c=getchar(); }
}
long long up(int k,int j)
{
    return last[j]-last[k]-sum[j]*sum[j]+sum[k]*sum[k];
}
long long down(int k,int j)
{
    return sum[k]-sum[j];
}
int main()
{
    int n,k;
    read(n); read(k); k++;
    for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]);
    int tot=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) if(a[i]) sum[++tot]=a[i];
    for(int i=1;i<=tot;i++) sum[i]+=sum[i-1];
    int j;
    long long ans=0;
    for(int K=2;K<=k;K++)
    {
        head=1; tail=1; q[1]=K-1;
        for(int i=K;i<=tot;i++)
        {
            while(head<tail && up(q[head],q[head+1])>=down(q[head],q[head+1])*sum[i]) head++;
            j=q[head];
            now[i]=last[j]+sum[j]*(sum[i]-sum[j]);
            while(head<tail && up(q[tail-1],q[tail])*down(q[tail],i)>=up(q[tail],i)*down(q[tail-1],q[tail])) tail--;
            q[++tail]=i;
        }
        ans=max(ans,now[tot]);
        swap(now,last);
    }
    printf("%lld",ans);
}