bzoj3675APIO2014序列切割

Posted 2020-10-02 yfceshi

3675: [Apio2014]序列切割

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Description

小H近期迷上了一个分隔序列的游戏。在这个游戏里。小H须要将一个长度为n的非负整数序列切割成k+1个非空的子序列。为了得到k+1个子序列，小H须要反复k次下面的步骤：

1.小H首先选择一个长度超过1的序列（一開始小H仅仅有一个长度为n的序列——也就是一開始得到的整个序列）。

2.选择一个位置，并通过这个位置将这个序列切割成连续的两个非空的新序列。

每次进行上述步骤之后。小H将会得到一定的分数。这个分数为两个新序列中元素和的乘积。小H希望选择一种最佳的切割方式。使得k轮之后。小H的总得分最大。

Input

输入第一行包括两个整数n，k（k+1≤n）。

第二行包括n个非负整数a1。a2，...。an（0≤ai≤10^4），表示一開始小H得到的序列。

Output

输出第一行包括一个整数，为小H能够得到的最大分数。

Sample Input

7 3
4 1 3 4 0 2 3

Sample Output

108

HINT

【例子说明】 

在例子中，小H能够通过例如以下3轮操作得到108分： 

1．-開始小H有一个序列(4。1。3。4，0。2，3)。

小H选择在第1个数之后的位置 

将序列分成两部分，并得到4×(1+3+4+0+2+3)=52分。

 

2．这一轮開始时小H有两个序列：(4)，(1。3，4，0。2。3)。

小H选择在第3个数 

字之后的位置将第二个序列分成两部分，并得到(1+3)×(4+0+2+ 

3)=36分。 

3．这一轮開始时小H有三个序列：(4)。(1，3)，(4，0。2，3)。小H选择在第5个 

数字之后的位置将第三个序列分成两部分，并得到(4+0)×(2+3)= 

20分。 

经过上述三轮操作，小H将会得到四个子序列：(4)，(1，3)，(4，0)。(2，3)并总共得到52+36+20=108分。

 

【数据规模与评分】 

：数据满足2≤n≤100000,1≤k≤min(n -1，200)。

斜率优化DP

这里有一个结论：终于得分是仅仅和分成那些序列有关，和切割的先后顺序无关。

(将式子稍作化简就能够证明)

然后就能够DP了：

f[i][j]表示到第i个数分成j组的最大得分。

则f[i][j]=max{f[k][j-1]+sum[k]*(sum[i]-sum[k])}，sum[k]是前缀和。

发现第二维是能够省略的，状态降到一维。节省了空间。

可是时间仍须要优化。考虑斜率优化。单调队列维护下凸包。

详细公式的变换详见笔记本....

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;i++)
#define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;i--)
#define ll long long
#define maxn 100005
using namespace std;
inline int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
int n,m,h,t,q[maxn];
ll sum[maxn],f[maxn],g[maxn];
int main()
{
	n=read();m=read();
	F(i,1,n) sum[i]=sum[i-1]+read();
	while (m--)
	{
		F(i,1,n) g[i]=sum[i]*sum[i]-f[i];
		h=1;t=0;
		F(i,1,n)
		{
			while (h<t&&(g[q[t]]-g[q[t-1]])*(sum[i]-sum[q[t]])>=(g[i]-g[q[t]])*(sum[q[t]]-sum[q[t-1]])) t--;
			q[++t]=i;
			while (h<t&&g[q[h+1]]-g[q[h]]<(sum[q[h+1]]-sum[q[h]])*sum[i]) h++;
			f[i]=sum[q[h]]*sum[i]-g[q[h]];
		}
	}
	printf("%lld\n",f[n]);
	return 0;
}