三角函数的理论？？？要全部的 ，急

Posted 2023-03-21

三角函数的理论？？？要全部的 ，急

在数学中，三角函数(也叫做圆函数)是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。由于三角函数表现出周期性，所以它并不具有单射函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。目录[隐藏] 1 基本函数 2 少用函数 3 历史 4 直角三角定义 4.1 直角三角形中 4.2 直角坐标系中 5 单位圆定义 6 级数定义 6.1 与指数函数和复数的联系 7 微分方程定义 7.1 弧度的重要性 8 三角恒等式 9 三角函数的特殊值 10 反三角函数 11 性质和应用 11.1 正弦定律 11.2 余弦定律 11.3 其他有用的性质 11.4 周期函数 12 注释 13 引用 14 参见 15 外部链接 [编辑] 基本函数 函数简写关系正弦sin余弦cos正切tan
(或 tg)余割csc
(或 cosec)正割sec余切cot
(或 ctg、ctn)[编辑] 少用函数 除六个基本函数，历史上还有下面四个函数:正矢 余矢 外正割 外余割 [编辑] 历史 随着认识到相似三角形在它们的边之间保持相同的比率，就有了在三角形的边的长度和三角形的角之间应当有某种标准的对应的想法。就是说对于任何相似三角形，(比如)斜边和剩下的两个边的比率都是相同的。如果斜边变为两倍长，其他边也要变为两倍长。三角函数表达的就是这些比率。研究三角函数的有尼西亚的喜帕恰斯(180-125 BC)，埃及的托勒密(90-180 AD)，Aryabhata (476-550)，Varahamihira，婆罗摩笈多, 花拉子密，Abū al-Wafā' al-Būzjānī，欧玛尔·海亚姆，婆什迦罗第二，Nasir al-Din al-Tusi，Ghiyath al-Kashi (14 世纪)，Ulugh Beg (14 世纪)，约翰·缪勒 (1464)，Rheticus 和 Rheticus 的学生 Valentin Otho。Madhava of Sangamagramma (c. 1400) 以无穷级数的方式做了三角函数的分析的早期研究。欧拉的《Introductio in analysin infinitorum》(1748)对建立三角函数在欧洲的分析处理做了最主要的贡献，还定义三角函数为无穷级数，并表述了欧拉公式，还有接近现代的简写 sin.、cos.、tang.、cot.、sec. 和 cosec.。[编辑] 直角三角定义 [编辑] 直角三角形中 在直角三角形中仅有锐角三角函数的定义。一个锐角的正弦是它的对边与斜边的比值。在图中，sinA = 对边/斜边 = a/h。 一个锐角的余弦是它的邻边与斜边的比值。在图中，cosA= 邻边/斜边 = b/h。 一个锐角的正切是它的对边与邻边的比值。在图中，tanA = 对边/邻边 = a/b。 [编辑] 直角坐标系中 设α是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，是角的终边上一点，是P到原点O的距离，则α的六个三角函数定义为：函数名定义函数名定义正弦余弦正切余切正割余割[编辑] 单位圆定义 单位圆 六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和 π/2 弧度之间的角。它提供了一个单一的可视图像一次封装了所有重要的三角函数。根据毕达哥拉斯定理，单位圆的等式是:在图像中，给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同 x 轴正半部分得到一个角 θ，并与单位圆相交。这个交点的 x 和 y 坐标分别等于 cos θ 和 sin θ。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度 1，所以有了 sin θ = y/1 和 cos θ = x/1。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于 1 查看无限数目的三角形的一种方式。在笛卡尔平面上 f(x) = sin(x) 和 f(x) = cos(x) 函数的图像。 对于大于 2π 或小于 �6�12π 的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为 2π的周期函数:对于任何角度 θ 和任何整数 k。周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”(primitive period)。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是 2π 弧度或 360 度；正切或余切的基本周期是半圆，也就是 π 弧度或 180 度。上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三角函数可以定义为:在笛卡尔平面上 f(x) = tan(x) 函数的图像。 在正切函数的图像中，在角 kπ 附近变化缓慢，而在接近角 (k + 1/2)π 的时候变换迅速。正切函数的图像在 θ = (k + 1/2)π 有垂直渐进线。这是因为在 θ 从左侧接进 (k + 1/2)π 的时候函数接近正无穷，而从右侧接近 (k + 1/2)π 的时候函数接近负无穷。可作为替代选择，所有基本三角函数都可依据中心为 O 的单位圆来定义，类似于历史上使用的几何定义。特别是，对于这个圆的弦 AB，这里的 θ 是对向角的一半，sin(θ) 是 AC (半弦)，这是印度的 Aryabhata(AD 476–550)介入的定义。cos(θ) 是水平距离 OC，versin(θ) = 1 �6�1 cos(θ) 是 CD。tan(θ) 是通过 A 的切线的线段 AE 的长度，所以这个函数才叫正切。cot(θ) 是另一个切线段 AF。 sec(θ) = OE 和 csc(θ) = OF 是割线(与圆相交于两点)的线段，所以可以看作 OA 沿着 A 的切线分别向水平和垂直轴的投影。DE 是 exsec(θ) = sec(θ) �6�1 1 (正割在圆外的部分)。通过这些构造，容易看出正割和正切函数在 θ 接近 π/2 (90 度)的时候发散，而余割和余切在 θ 接近零的时候发散。[编辑] 级数定义 正弦函数(蓝色)被对中心为原点的全圆的它的 5 次泰勒级数(粉红色)紧密逼近。 只使用几何和极限的性质，可以证明正弦的导数是余弦，而余弦的导数是负的正弦。(在微积分中，所有角度都以弧度来度量)。你可以接着使用泰勒级数的理论来证明下列恒等式对于所有实数 x 都成立 :这些恒等式经常被用做正弦和余弦函数的定义。它们经常被用做三角函数的严肃处理和应用的起点(比如，在傅立叶级数中)，因为无穷级数的理论自实数系的基础上发展而来，独立于任何几何考虑。这些函数的可微性和连续性经常单独从级数定义自身确立。其他级数可见于:[1]-这里的是 n 次上/下数， 是 n 次伯努利数， (下面的)是 n 次欧拉数。 在这种形式的表达中，分母是相应的阶乘，而分子叫做“正切数”，有组合解释: 它们枚举了奇数势的有限集合的交互排列(alternating permutation)。-在这种形式的表达中，分母是对应的阶乘，而分子叫做“正割数”，有组合解释: 它们枚举偶数势的有限集合的交互排列。从复分析的一个定理得出，这个实函数到复数有一个唯一的解析扩展(analytic extension)。它们有同样的泰勒级数，所以定义在复数上三角函数使用上述泰勒级数。[编辑] 与指数函数和复数的联系 可以从上述的级数定义证明正弦和余弦函数分别是复指数函数在它的自变量为纯虚数时候的虚数和实数部分:这个联系首先由欧拉注意到，而这个恒等式叫做欧拉公式。在这种方式下，三角函数在复分析的几何解释中变成了本质性的。例如，通过上述恒等式，如果你考虑在复平面中 eix 所定义的单位圆，同上面一样，我们可以依据余弦和正弦来参数化这个圆，在复指数和三角函数之间联系变得非常明显。进一步的，这允许定义对复自变量 z 的三角函数:这里的 i2 = �6�11。还有对于纯实数 x，还知道指数处理密切联系于周期行为。[编辑] 微分方程定义 正弦和余弦函数都满足微分方程就是说，每个都是它自己的二阶导数的负数。在由所有这个方程的解的二维向量空间 V 中，正弦函数是满足初始条件 y(0) = 0 和 y′(0) = 1 的唯一解，而余弦函数是满足初始条件 y(0) = 1 和 y′(0) = 0 的唯一解。因为正弦和余弦函数是线性无关的，它们在一起形成了 V 的基。这种定义正弦和余弦函数的方法本质上等价于使用欧拉公式。(参见线性微分方程)。很明显这个微分方程不只用来定义正弦和余弦函数，还可用来证明正弦和余弦函数的三角恒等式。进一步的，观察到正弦和余弦函数满足 意味着它们是二阶算子的特征函数。正切函数是非线性微分方程满足初始条件 y(0) = 0 的唯一解。有一个正切函数满足这个微分方程的非常有趣的可视证明；参见 Needham 的《Visual Complex Analysis》。[2][编辑] 弧度的重要性 弧度通过测量沿着单位圆的路径的长度指定一个角，并构成给正弦和余弦函数的特定辐角。特别是，只有映射弧度到比率的那些正弦和余弦函数才满足古典的描述它们的微分方程。如果给正弦和余弦函数的弧度辐角是正比于频率的则导数将正比于“振幅”。. 这里的 k 是表示在单位之间映射的常数。如果 x 是度，则这意味着使用度的正弦的二阶导数不满足微分方程, 而; 对余弦也是类似的。这意味着这些正弦和余弦是不同的函数，因此正弦的四阶导数再次是正弦，只有它的辐角是弧度的条件下。[编辑] 三角恒等式 主条目：三角恒等式在三角函数相互之间存在很多恒等式。其中最常用的是毕达哥拉斯恒等式，它声称对于任何角，正弦的平方加上余弦的平方总是 1。这可从斜边为 1 的直角三角形应用毕达哥拉斯定理得出。用符号形式表示，毕达哥拉斯恒等式为：更常写为在正弦和余弦符号之后加“2”次幂:在某些情况下内层括号可以省略。另一个关键联系是和差公式，它把两个角的和差的正弦和余弦依据这些角度自身的正弦和余弦而给出。它们可以在几何上使用托勒密的论证方法推导出来；还可以在代数上使用欧拉公式得出。当两个角相同的时候，和公式简化为叫做二倍角公式的更简单等式。这些等式还可以用来推导积化和差恒等式，古代用它把两个数的积变换成两个数的和而像对数那样做更快速的运算。三角函数的积分和导数可参见导数表、积分表和三角函数积分表。[编辑] 三角函数的特殊值 三角函数中有一些常用的特殊函数值。函数名0sin0-cos1-tan01cot1sec1-2csc2-或者……（当然须要另外约简。）函数╲角度sincostan[编辑] 反三角函数 主条目：反三角函数三角函数是周期函数，因此不是单射函数，所以严格的说没有反函数。所以要定义一个反函数必须限制它们的定义域，使得三角函数是双射函数。在下面左边的函数由右边的等式定义；这些不证明恒等式。基本反函数通常定义为:对于反三角函数，符号 sin�6�11 和 cos�6�11 经常用于 arcsin 和 arccos。当使用这种符号的时候，反函数可能混淆于这个函数的倒数。使用“arc-”前缀的符号避免了这种混淆，尽管“arcsec”可能偶尔混淆于“arcsecond”。正如正弦和余弦，反三角函数也依据无穷级数来定义。例如，这些函数也可以通过证明它们是其他函数的不定积分来定义。例如反正弦函数，可以写为如下积分:可以在反三角函数条目中找到类似的公式。使用复对数，可以把这些函数推广到复辐角上:
[编辑] 性质和应用 三角函数如其名字所暗示的在三角学中是至关重要的，主要是因为下列两个结果。[编辑] 正弦定律 正弦定律声称对于任意三角形，它的边是 a, b 和 c 而相对这些边的角是 A, B 和 C，有:也表示为:利萨茹曲线，一种三角基的函数形成的图像。 它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用正弦的上述定义证明。在这个定理中出现的公共数 (sinA)/a 是通过 A, B 和 C 三点的圆的直径的倒数。正弦定理用于在一个三角形的两个角和一个边已知时计算未知边的长度。这是三角测量中常见情况。[编辑] 余弦定律 余弦定律(也叫做余弦公式)是托勒密定理的扩展:也表示为:这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。余弦定律用于在一个三角形的两个边和一个角已知时确定未知的数据。如果这个角不包含在这两个边之间，三角形可能不是唯一的(边-边-角全等歧义)。小心余弦定律的这种歧义情况。[编辑] 其他有用的性质 还有一个正切定律:[编辑] 周期函数 谐波数目递增的方波的加法解析的动画。 三角函数在物理中也是重要的。例如，正弦和余弦函数被用来描述简单谐波运动，它建模了很多自然现象，比如附着在弹簧上的重块的振动，挂在绳子上重块的小角度摆动。正弦和余弦函数是圆周运动的一维投影。三角函数还被证明在一般周期函数的研究中很有用。这些函数有作为图像的特征波模式，对于建模循环现象比如声波或光波是有用的。所有信号都可以写为不同频率的正弦和余弦函数的(典型的无限)和；这是傅立叶分析的基础想法，这里的三角级数被用来解微分方程的各种边界值问题。例如，方波可以写为傅立叶级数在右边的动画中，可以看到只用一些项就已经生成了非常好的逼近。 参考技术A 角函数内容规律
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在.
　　1、三角函数本质：
　　三角函数的本质来源于定义，如右图：
　　根据右图，有
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例：
　　推导：
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β))
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0)
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2）
　　 [1]
　　两角和公式
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB �
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) �
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 参考技术B 对涡旋齿端型线的三角函数类修正几何理论进行了深入研究,阐述了这类修正的齿端生成方法及型线的特点.在分析啮合过程一般规律的基础上,采用等距线法导出了压缩腔、排气腔容积在整个工作过程中随曲轴转角变化的通用解析表达式,系统分析了修正参数对压缩腔、排气腔容积和内容积比的影响.推导出的解析表达式适用于包括圆弧类修正的所有三角函数类型线的修正.