一些有意思的智力题和概率题

Posted 2023-02-08 oahaijgnahz

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文章目录

• 1.一副扑克牌54张，平均分成三份，两张王在同一人手中的概率？
• 2. 五升和三升的水桶，如何获取4升水？
• 3. 两个容量分别为5L和6L的水壶，请准确称出3L水？
• 4. 有十组砝码，每组十个，其中九组每个砝码的重量为10g，另外一组每个砝码的重量为9g，问用一个能显示克数的秤，最少几次能找到这组9g的砝码？
• 5. 有一个天平，9个砝码，其中有1个比其他8个轻，问至少称几次能找到轻的那个砝码？
• 6. 烧绳子
• 7. 有1000个瓶子，其中999瓶是水，1瓶是毒药，给你10只小白鼠，如何检验哪一瓶是毒药？
• 8. 家里有两个孩子，一个是女孩，另一个也是女孩的概率为多少？
• 9. 50个红球和50个蓝球，两个罐子，怎么分配红蓝球能让一次摸取到红球的概率最大？
• 10. 有64匹马和8个跑道最少需要多少轮才能选出最快的4匹马？
• 11. 两个人轮流抛硬币，正面获胜，先抛的人获胜的概率

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1.一副扑克牌54张，平均分成三份，两张王在同一人手中的概率？

将大小王分给一个人，另外两个人各拿18张牌的总事件有：
$$3\ast C_{52}^{16}{C}_{36}^{18}$$
将54张牌分给三个人包含的事件数为：
$$C_{54}^{18}{C}_{36}^{18}$$
根据古典概率，有
$$\begin{gathered} P=\frac{3\ast C_{52}^{16}{C}_{36}^{18}}{C_{54}^{18}{C}_{36}^{18}}=\frac{17}{53} \\ 其中，C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!} \end{gathered}$$

2. 五升和三升的水桶，如何获取4升水？

答：先往5升的水桶倒满水，将5升水桶里的水倒进3升水桶里，倒满后，5升水桶剩下2升水；将3升水桶里的水倒掉，将剩下的2升水倒进3升水桶里，3升水桶就会剩下1升水的空余位；将5升水桶倒满水后，往3升水桶里倒满，这个时候5升水桶中就剩了4升。

3. 两个容量分别为5L和6L的水壶，请准确称出3L水？

答：将6L的壶装满水，往5L壶倒水至满，此时6L壶剩1L水；倒掉5L壶里的水，将6L壶中剩下的1L水倒入5L壶中；再将6L壶装满，往5L壶中倒水至满(1+4)L，此时6L壶中还剩2L水，倒掉5L壶中的水，将6L壶中的2L水倒入5L壶中；最后将6L水壶装满，往5L壶中倒水至满(2+3)L，此时6L壶中还剩3L水。

4. 有十组砝码，每组十个，其中九组每个砝码的重量为10g，另外一组每个砝码的重量为9g，问用一个能显示克数的秤，最少几次能找到这组9g的砝码？

答：1次。十个组，依次从组中拿1，2，3 … 10个砝码。如果不考虑其中一个组的砝码为9g，则应当有等差数列的和：(1+10)*10*10/2=550g的显示重量，那么实际的会比这个数字小。少多少就是对应取出数量的组，此组就是9g砝码对应的组。

5. 有一个天平，9个砝码，其中有1个比其他8个轻，问至少称几次能找到轻的那个砝码？

由此也可以延伸出：有8个小球，其中7个重量相同，另一个比较重，问使用天平，至少称几次能找出比较重的小球？

答：两次。

第一次，将砝码分为3组，每组3个，拿其中两组到天平上称（第1次），如果一样重，则轻的为剩下那组，不一样重，则也能分辨出哪一组轻；

第二次，取轻的那一组的3个砝码，从中选出两个到天平上称（第2次），若一样重，则剩余的1个为轻，不一样重，则轻的也能轻易找到。

6. 烧绳子

1. 烧一根不均匀的绳子要用1个小时，如何用这根绳子来判断半个小时？

   答：一根绳子从两头烧，烧完就是半个小时。

2. 不均匀的绳子，一根绳子从头烧到尾要1个小时，现在给你若干根这样的绳子，问，如何用烧绳来计时一个小时十五分钟呢？

   由此也可延伸出：有两根不均匀分布的香，每根香烧完的时间是一个小时，你能用什么方法来确定一段15分钟的时间？

   答：同时烧两根绳子，一根从一头烧，一根从两头烧，当两头烧的绳子烧完时（半小时），将一头烧的绳子的另一头点燃（此时已烧过半小时），这根绳子烧完时（十五分钟），从两头点燃第三根绳子，烧完时（半小时），共一小时十五分钟。

7. 有1000个瓶子，其中999瓶是水，1瓶是毒药，给你10只小白鼠，如何检验哪一瓶是毒药？

答：因为一共有1000瓶毒药，而2的10次方为1024，1024>1000，那么可以用10位二进制数来表示这1000个瓶子。

第1瓶：00 0000 0001

第2瓶：00 0000 0010

…

第999瓶：11 1110 0111

第1000瓶：11 1110 1000

接下来给10只小白鼠排队，按JIHGFEDCBA表示从高位到低位，每只小白鼠对应着一个二进制位。从第1瓶开始，若该位为1，则给对应位的小白鼠喝一滴瓶中的东西。

如第999瓶，因为使用11 1110 0111表示，所以需要给JIHGFCBA小白鼠喝一滴第999瓶中的东西，其他的以此类推~

一段时间后观察，若死亡老鼠的编号为HFEA，则对应的瓶子编号为0010110001，则编号为177的瓶子中为毒药。

8. 家里有两个孩子，一个是女孩，另一个也是女孩的概率为多少？

答：题目有两种理解

第一种理解是两个孩子A和B两个孩子，孩子A已经是女孩了，那么孩子B也是女孩的概率是$$P=\frac{1}{2}$$

第二种理解是两个孩子其中一个是女孩，另一个也是女孩的概率则是
$$P=\frac{1}{3}$$

实际题目让你回答的是第二种理解，因为我们容易先入为主地认为两个孩子其中指定一个是女孩了，但实际上两个中的任意一个都可能是女孩。那么正确的理解答案来源于，两个孩子的性别组合只能是男男、男女、女男、女女，排除掉男男的组合，另一个也是女孩的概率是1/3。

9. 50个红球和50个蓝球，两个罐子，怎么分配红蓝球能让一次摸取到红球的概率最大？

答：概率最大的做法是，其中一个罐子只放一个红球，另一个罐子放49个红球和50个蓝球。这样一次摸取到红球的概率是最大的，为

$$P=\frac{1}{2}\ast 1+\frac{49}{50+49}\ast \frac{1}{2}\approx 0.75$$

10. 有64匹马和8个跑道最少需要多少轮才能选出最快的4匹马？

64匹马找其中的最快4匹马

11. 两个人轮流抛硬币，正面获胜，先抛的人获胜的概率

//先手的情况
P(A) = 1/2 +      //A直接取胜 
	   1/2 * 1/2 * 1/2 +      // A1失败B1失败A2取胜
	   1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 *1/2  +    //A1失败B1失败A2失败B2失败A3取胜
	   ...

p = 1/2 + (1/2)^3 + (1/2)^5 + (1/2)^7 + ...
等比数列求和
p = 1/2 * (1 - (1/4)^n) / (1 - 1/4) = 2/3

//后手的情况
P(B） = 1/2 * 1/2 +     // A1失败B1取胜
        1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 +     // A1失败B1失败A2失败B2取胜
        1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 * 1/2 +  //A1失败B1失败A2失败B2失败A3失败B3取胜、
        ...    
p = (1/2)^2 + (1/2)^4 + (1/2)^6 + ..

p = 1/4 * (1 - (1/4)^n) / (1 - 1/4) = 1/3

参考1
参考2