大卫·希尔伯特：数学界的无冕之王

Posted 2023-02-06 turingbooks

我们必须知道，我们必将知道。

——希尔伯特

大卫·希尔伯特，德国著名数学家，是20世纪最伟大的数学家之一，被称为“数学界的无冕之王”，天才中的天才。他的伟大成就几乎遍及当时所有数学分支，对基础数学都做出了开创性贡献。

01

对数学的爱

1862年，希尔伯特出生于东普鲁士哥尼斯堡（前苏联加里宁格勒）附近的韦劳，8岁时，到皇家腓特烈预科学校上学，这是一所有名的私立学校，著名哲学家康德的母校。不过，这间学校注重文科的教育，希尔伯特当时已经迷上了数学，对文科完全提不起兴趣。

后来，他转到了比较适合他的威廉预科学校。在这里，希尔伯特才真正找到了属于自己的舞台。他变得勤奋好学，成绩便突飞猛进，包括德语、拉丁语、希腊语、神学和物理学在内的几乎所有课程都是优秀，数学更是获得了超高评价。

希尔伯特曾说过：数学最合我胃口，因为它容易、不费力，数学用不着死记硬背，总是能自己重新推导出结果。

1880年，希尔伯特不顾父亲的劝阻（父亲想要儿子学习法律），进入哥尼斯堡大学攻读数学。

在哥尼斯堡大学的第一学期，希尔伯特主要学习了积分学、矩阵论和曲面的曲率论三门课程。到了第二学期，按照学校规定，学生可以选择交换到另一所大学学习一段时间，希尔伯特就选择了海德堡大学。

在海德堡大学的那段时间，希尔伯特印象最深的就是微分方程名师拉撒路·富克斯的课。这位教授从来没有备课的习惯，对于讲课的内容，经常是现推现用，因此，他经常会把自己陷入尴尬的境地。

学生们经常会看到这样一幅画面：富克斯教授在黑板上不停地演算、推导，突然间发现最初的方法行不通，于是，擦掉黑板，换另一种方法，继续沉迷演算……直到推导出结果为止。

不过，这位教授却深受学生们的尊敬，学生们是这样评价的：这样的课，使我们得到一个机会，瞧一瞧最高超的数学思维的实际过程。

希尔伯特正是这样通过这位教授的课，领悟到了数学家的思考过程。

后来，希尔伯特回到哥尼斯堡大学，主要跟从韦伯教授学习数论、函数论和不变量理论。而博士论文导师就是赫赫有名的林德曼教授，希尔伯特出色地完成了关于代数形式的不变性质的论文，并于1884年获得博士学位，后留校取得讲师资格，升任副教授。

02

人格魅力

1895年3月，由于克莱因的举荐，希尔伯特转任哥廷根大学教授。

自从希尔伯特来到这里担任教授之后，哥廷根的数学实力引起世界数学界的瞩目。希尔伯特所开创的数学讨论班吸引了世界范围的数学家。对数学的深刻理解、高水准的授课内容、严谨的讲课方式使他成为一个真正的数学教育家。

希尔伯特平易近人，经常会和学生们一起喝茶，吃饭，散步，讨论数学。

他反对填鸭式的教学方法，认为讲课应该教会学生怎样提出问题和解决问题，讲课的目的是要把学生引进科学发展的进程，教师应该详细地阐明困难所在，为学生解决具体问题“搭一座桥”。

在他讲课时，授课大厅常聚集好几百人，有的甚至坐在窗台上。

20世纪的著名数学家和物理学家，如维纳、冯诺依曼、玻尔、玻恩等人，都听过他的教导。哥廷根成为全德，乃至全欧洲、全世界仰慕的数学朝圣之地，无可争议的世界数学中心。在当时，全世界几乎所有数学专业的学生，都心怀着一个梦想“打起背包，到哥廷根去！”因为那里有希尔伯特。

03

研究成果

在哥廷根，希尔伯特整整工作和生活了48年。他的不变量理论、代数数域理论、积分方程、引力论张量理论、积分方程变分法、华林问题、特征值问题、希尔伯特空间等，无论哪个课题都称得上是对数学的开创性贡献。

其中仅以他的名字命名的理论、概念和方法，诸如希尔伯特空间、希尔伯特模形式、希尔伯特环、希尔伯特变换、希尔伯特定理、希尔伯特程序等就有40个之多。

他的著作有《希尔伯特全集》，包括《数论报告》《几何学基础》《线性积分方程的一般理论》共三卷；此外还有与他人合作的《数学物理方法》《数理逻辑基础》《直观几何学》《数学基础》等。他在巨著《几何学基础》中，把欧几里得几何学加以整理，并以此为基础，提出了一个更严密而完整的几何公理化体系。

他的成果为20世纪初各个数学分支建立起了牢固的基础，由此掀起了数学界的“公理化运动”，领衔起一个数学学派，成为19世纪末到20世纪初数学界的一面旗帜。

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