圆锥体的高度是多少？

Posted 2023-02-05 卓晴

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了圆锥体的高度是多少？相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

圆锥的高度是多少？

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01 圆锥体高度

一、前言

今天在MindYouDecision 频道看到 Presh Talwalkar讲述了一个有趣的数学问题。已知一个圆锥体瓶子，垂直摆放。里面盛有部分水，水面距离顶部有8厘米。当这个圆锥体倒过来，中心线垂直之后，水面距离底部有两厘米。问题是求这个圆锥体的高度是多少？如果你对于这个问题想自行思考一下的话，可以暂停视频，思考之后再看剩下视频给出的一种求解方式。

▲ 图1.1.1 圆锥体的高度是多少

二、求解过程

的确我在一开始觉得这个题目是否出错了，少了圆锥体的底部半径这个条件。不过它的确可以被求解出来。求解的关键是根据两种情况下圆锥里面的水的体积是相等的。通过这个条件可以列写出关于圆锥高度 h 的方程，完成求解。下面先从左边圆锥垂直状态开始分析。

使用变量 h 表示圆锥体的高度，为了分析圆锥旋转半径，绘制出它的一侧直角三角形。三角形的底部直角边的长度等于圆锥底部半径 R 。上面还存在一个小的相似直角三角形，它的底部是水面的半径 r1。下面使用这些变量来求取圆锥中的水的体积。水的体积等于整个圆锥体积减去顶部圆锥的体积。

▲ 图1.2.1 圆锥内部的水的体积
利用圆锥体的体积公式，给出了水的体积表达式。下面利用两个三角形之间的相似性，将表达式中的变量进行化简。两个三角形的底边的比值等于它们高度的比值。根据已知条件可以写出这个等式。于是可以写出关于 r1 的表达式。将这个表达式代入前面水的体积结果，于是可以将其中的 r1 变量消去。最后得到化简后水的体积表达式。其中只包括有 R， h 两个变量了。

▲ 图1.2.2 求解出圆锥内部水的体积
这是在圆锥正向垂直时求出的水的体积表达式。然后再根据第二个条件求取水的体积。第二种情况，圆锥的高度仍然是 h 。旋转三角形的底边也等于 R。只是此时对应的水面所在的三角形底边不同了，这里先假设它是 r2。根据题目给定的条件，此时水面距离底部2厘米，所以水面椎体的高度为 h-2。根据这些条件，可以写出圆锥体内的水的体积。

有了水的体积表达式，再次利用相似三角形之间边长的比例相等，便可以得到 r2 的表达式。接着，将r2的表达式代入前面水的体积表达式，将其中的 r2 消去。进行化简，便得到水体积的第二个表达式了。

▲ 图1.2.3 水的体积的第二个表达式

到现在为止，我们得到了水的体积两个表达式，其中带有两个变量，似乎还无法求解圆锥的高度 h 。下面先让我们将两个表达式对比一下，就可以看出这个题目的巧妙之处了。根据两种情况下水的体积相等，所以可以得到一个方程式。马上我们可以看出可以将方程两边变量 R 消去。此时，方程中就只剩下圆锥高度变量 h 了。下面对关于 h 的方程进行求解。快速求解这个方程，可以得到圆锥的高度表达式。最终，圆锥的高度大约为10.2厘米。