数据链路层-第三节：差错控制

Posted 2023-01-28 快乐江湖

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了数据链路层-第三节：差错控制相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

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文章目录

一：检错编码
- （1）奇偶校验码
- （2）循环冗余检验码（CRC）
二：纠错编码（海明校验码）
三：注意

本节对应视频如下

【计算机网络微课堂（有字幕无背景音乐版）】：3.3：差错检测

差错检测：数据在传输过程中可能会因为各种因素而出现差错，主要有以下两种类型的错误

位错（本节研究内容）：比特位出现错误
帧错：几个比特出现错误；包括帧丢失、帧重复、帧失序；对于帧错误可以通过编号、确认重传解决

其中关于位错，可由差错检测码解决，差错检测码主要包括检错编码和纠错编码

检错编码：奇偶校验码、循环冗余校验码CRC
纠错编码：海明码

一：检错编码

注意此部分内容在《计算机组成原理》校验码部分已有介绍：【专栏必读】王道考研408计算机组成原理万字笔记和题目题型总结（从学生角度辅助大家理解）：各章节导航及思维导图

（1）奇偶校验码

奇偶校验码：在原编码的基础上增加一个校验码，可以检测出一位错误(或奇数位错误)，但不能确定出错位置，也不能检测出偶数位出错，增加的冗余位称为奇偶校验位；校验位只取0或1，它的加入使整个校验码中“1”的个数要么是奇数要么是偶数，所以就有两种可选的校验规律

奇校验码：整个检验码中“1”的个数为奇数
偶校验码：整个校验码中“1”的个数为偶数

例如：1001101的奇校验码和偶校验码设置如下

奇偶校验具有很大的局限性，只能发现数据代码中的奇数位出错的情况

校验过程：

传输前，发送端和接收端会协议确定彼此之间采用奇校验还是偶校验
以偶校验为例：首先会将二进制所有位进行异或运算，所得结果就是偶校验位，例如上面信息“1001101”，进行异或运算“1⊕0⊕0⊕1⊕1⊕0⊕1=0”，这表明“1”的个数为偶数个，故偶校验位为0
接收端在接受信息后会进行异或运算，一旦结果为“1”表明错误；例如上图中第一个例子，在接受到之后进行异或运算“0⊕1⊕0⊕1⊕1⊕1⊕0⊕1=1”，所以结果错误

（2）循环冗余检验码（CRC）

举个例子，A要向B传送数据882，为了校验数据是否准确，A和B约定了一个除数7，882除以7是可以除尽的；B在接收到数据之后同样也使882除以7，如果没有余数，数据可能正确，但如果有余数那么一定出现了错误

循环冗余校验码：CRC的原理和上面除法的例子基本一致。发送方和接收方提前约定好一个数，作为除数（这里的数自然指的是二进制序列），然后在 $K$ 个信息位后拼接 $R$ 个校验位作为被除数（添加的校验位需要保证被除数除以除数余数为0），接受方在接收到数据之后进行除法运算，检查余数是否为0

双方会通过生成多项式 $G (x)$ 来确定除数

例如多项式 $G(x)=x^3+x^2+1$ ，其完整形式为 $G(x)=1\\times x^3+1\\times x^2+0\\times x^1+1\\times x^0$ ，取其系数，则除数为 $1101$

这里以传送信息101001，生成表达式为 $G(x)=x^3+x^2+1$ 为例，演示CRC码的求解过程

①：确定 $K$ 、 $R$ 以及生成多项式对应的二进制码

首先

校验位 $R =$ 生成多项式最高幂次 $= 3$
$K =$ 信息码长度的 $= 6$
整个编码位数 $N = K + R = 9$
多项式 $G (x)$ 对应二进制码（即除数）为 $1101$

②：移位

现在我们要确保添加的 $3$ 位校验位形成的被除数可以整除除数，因此将信息码 $101001$ 左移R位，低位补0，也即 $101001000$ ，称其为新信息码

③：相除
对于新信息码，用生成多项式进行模2除法，产生余数。

举个例子，用1001000作为被除数，1011作为除数，模2除法为的是求余数，不关心商。

首先商为1，得出结果

此时不应该做减法，而应该做对应为的异或运算

接着如果高位为0，就抹去一位，同时后面用被除数的补齐一位

这里经过异或运算，然后抹位补位得到的结果（比如上图0100）中，如果首位为0就商0，首位为1就商1

继续异或，然后抹位，补位后

继续

运算到这里，其实可以进行快捷操作。异或后前面有多少0都全部扔掉，再从被除数哪里补齐相应位即可。但是这里很明显只能取一个，于是就得到下面的结果，此时也是最终结果，因为余数位数小于除数

好的，回到正题。此时运算出的余数为001，作为校验位。于是整个CRC码即为信息码+校验码= $101001001$

④：检验纠错

接收方接受到数据后，会使用约定的除数进行模2除运算，如果余数为000，表示结果可能正确；如果接收方数据为 $101001011$ （导数第二位出现错误），计算结果为010，对应是十进制数为2，表示第二位出现错误，但是特别注意这只是巧合，出错位置与计算结果没有必然联系

我们把每一个位置出错的情况统计如下，大家可以发现，余数为3位最多映射8种情况，因此第1-7位是属于一个周期，但是从第8位又开始了一个新的周期，因此010有可能对应第2位出错，也有可能是第9位

难道说CRC码不能确定出错位置吗？其实也不是的，出现这种情况的原因主要在于信息位过长，无法一一映射。所以要想确定纠错位置就要选择合适的多项式(纠错1位)，需要满足以下不等式

$2^R\\geq K+R+1$

二：纠错编码（海明校验码）

（1）码字和码距

网络传输内容实则是二进制序列，每种编码都对应特定的信息，如下

码字：由若干位代码组成的一个字称为码字，比如上面的“00”，“01”
码距：将两个码字逐位比较，具有不同的位的个数称为两个码字的距离，比如“00”和“10”距离就是1；一种编码方法可能有若干合法码字，各合法码字之间的最小距离称为“码距”，上面这种编码方案码距为1。

码距为1无检错能力；对于码距大于等于2的校验码，具有检错能力，且码距越大，检错、纠错能力就越强，而且检错能力总大于等于纠错能力

（2）海明校验码

海明校验码：海明码是一种广泛采用的有效的校验码，本质是一种多重奇偶校验码。其实现原理是在有效信息位中加入几个校验位形成海明码，并把海明码的每个二进制位分配到奇偶校验组中。当某一位出现错误后，就会引起有关的几个校验位的值发生变化。它不但可以发现错误位置，还可以为自动纠错提供依据

A：纠错理论

假设信息位为 $n$ ，校验位为 $k$ ，因此 $k$ 个比特位一共可以映射 $2^k$ 种状态；海明码由信息位和校验位组成，因此共有 $n + k$ 位， $n + k$ 位每一个位置都有可能出现错误，因此这 $2^k$ 种状态要把这 $n + k$ 种全部映射到，但是要注意其中还要包含一种全部正确的情况。

综上所述，得出下面的重要不等式

$2^k\\geqslant n+k+1$

B：求解海明码

范例：求1010的海明码，具体流程如下

1：确定海明码位数

此二进制序列信息位 $n = 4$ ，根据前述不等式： $2^k\\geqslant n+k+1$ ，可知 $k$ 为3时不等式方可成立。

除了实际计算，也可以熟悉下面这张表，从而快速写出

为了区分信息位和校验位，我们用 $D_4D_3D_2D_1$ 表示信息位（对应 $1010$ ）；用 $P_3P_2P_1$ 表示校验位；整个海明码序列可以表示为 $H_7H_6H_5H_4H_3H_2H_1$

2：确定校验位分布

海明码中校验位不能直接放在信息位的头部和尾部。
规定：校验位 $p_i$ 应该放在海明码 $H_2^i-1$ 的位置，因此 $P_1P_2P_3$ 分别对应 $H_1H_2H_4$ ，其实也就是2进制的权值

校验位分布如下，首先放入校验位，信息位从低到高依次补全空位

海明码位置	$H_7$	$H_6$