[01背包] 背包问题求方案数(01背包+求方案数+求最优解方案数+思维)

Posted 2022-12-19 Ypuyu

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强相关：

• [01背包] 背包问题求具体方案(01背包+求方案数+思维)

1. 01背包+求方案数+思维

11. 背包问题求方案数

本问题和 [01背包] 背包问题求具体方案(01背包+求方案数+思维) 求方案数不同。上个问题是求一条具体的最短路状态转移方案即可，因为会对字典序排序，所以当时我们采用了贪心的策略，当两个状态相等时，选小不选大。而本问题，这两个状态相等时，就把这两个都选上就行了。

这个问题代表了求最优解的方案数，也是代表了一大类问题，重要。而求解具体的一个方案，也是很重要的。并且一般让求方案的题，都不简单！

开辟一个新数组，g[i][j] 记录转移到 f[i][j] 的方案数是多少就行了，针对 f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-vi]+wi)，对应着选 i、不选 i 的两种情况。那么 g[i-1][j] 就是 f[i-1][j] 的方案数。g[i-1][j-vi] 就是 g[i-1][j-vi] 的方案数

• 当 f[i-1][j] < f[i-1][j-vi]+wi 的时候，g[i][j] = g[i-1][j]
• 当 f[i-1][j] > f[i-1][j-vi]+wi 的时候，g[i][j] = g[i-1][j-vi]
• 当 f[i-1][j] = f[i-1][j-vi]+wi 的时候，g[i][j] = g[i-1][j]+g[i-1][j-vi]

能够发现，f 和 g 都是仅和上一层有关系。所以都可以优化至一维。

在此，表示的是体积恰好是 j 的方案数。如果表示成体积最大是 j 的话计算起来会比较麻烦。因为在 01 背包中我们将体积定义为最大，实际上对于 f[m] 可能其并没有用到，但是仍旧能够转移过来。那么这个方案数就不好进行累加，因为相等的部分很多，得将这些无效转移剔除，所以比较麻烦。但是在此将状态转移与最大值精确对应起来，找到

代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 1005;
const int MOD = 1e9+7;

int n, m;
int f[N];               // f[j]是容积“恰好”为j时的最优解
int g[N];               // g[j]是容积“恰好”为j时的最优解的方案数

int main() 
    cin >> n >> m;
    
    // 背包容量为0时，这些状态都不合法，此时状态的第二维表示的不是最多而是恰好
    // 那么如果一件物品都没有，第二维的体积必须是0。
    memset(f, -0x3f, sizeof f);
    f[0] = 1;
    g[0] = 1;
    
    for (int i = 0; i < n; ++i) 
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for (int j = m; j >= v; --j) 
            int maxv = max(f[j], f[j - v] + w);
            int cnt = 0;
            if (maxv == f[j]) cnt += g[j];
            if (maxv == f[j - v] + w) cnt += g[j - v];
            g[j] = cnt % MOD;  // 是f[j]等于maxv这个容积下的最优解方案数
            f[j] = maxv;       // 那么在不同容积下到达同样的最大值，最优解方案不同且需要累加
        
    
    // 最终不一定占满全部背包体积，01背包在此仍会转移到f[m]
    // 而在此由于方案数g[j]和f[j]严格对应,所以必须找到准确的取到最优解时的体积
    int res = 0;            // 这里状态定义是恰好,所有需要遍历求解最大值
    for (int i = 0; i <= m; ++i) res = max(res, f[i]);
   
    int cnt = 0;            // 最大值可能由不同容积下都能达到,所以只要f[i]与res相等,g[i]就相加
    for (int i = 0; i <= m; ++i)     
        if (res == f[i])
            cnt = (cnt + g[i]) % MOD;
    cout << cnt << endl;
    
    return 0;

---

以下为 AcWing 讨论区的看到的：

滑稽聚聚：AcWing 11. 背包问题求方案数 的题解，很简洁的另一种状态定义方式，和下面这个是同样的思路。

不定义体积为恰好时，也是可以计算的：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010, mod = 1e9+7;

int n, m;
int f[N], g[N];
int v[N], w[N];

int main() 
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];

    for (int i = 0; i <= m; i ++ ) g[i] = 1;

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = m; j >= v[i]; j -- ) 
            int left = f[j], right = f[j - v[i]] + w[i];
            f[j] = max(left, right);

            if (left > right) g[j] = g[j];
            else if (left < right) g[j] = g[j - v[i]];
            else g[j] = g[j] + g[j - v[i]];
            g[j] %= mod;
        

    cout << g[m] << endl;
    return 0;

为什么这里 g[j] = g[j] 和 g[j] = g[j - v[i]] 不是 += 呢？在此就是左边大的话就是取左面，右边大取右边。

可理解为： 当前这个状态如果能由上一层的某个状态转移过来的了的话，就说明之前更新这个状态的点不是最优的，那么我们就不能再将其算作一种选法了，所以就不能是 +=，而必须是直接赋值

相当于有两个集合，一个集合选当前的物品，一个集合不选。然后我们要求的是两个集合的最大值，以及最大值的元素数。那么如果左边集合的最大值大于右边集合的最大值，那最大值的元素数就等于左边集合最大值的元素数(在此，就不是 += 了)；反之就是右边集合的元素数；如果左右两边最大值相等，那么就应该是左右两个集合中取最大值的元素的个数之和。

2020/11/24
先加入疑问题单，能理解本题体积做法，但无法做过多拓展。体会体会！