反赌科普宣传——赌徒的谬误

Posted 2022-12-15 陆嵩

反赌科普宣传——赌徒的谬误

文章目录

• 反赌科普宣传——赌徒的谬误
• • 游戏简单介绍
  • 不公平的游戏
  • 彩民的谬误
  • 求神拜佛，是邪？非邪？
  • 隐形的陷阱，无底的深渊

在赌博中，有一种“荷兰赌式”的“倍赌”策略，即输了加赌注加倍，直到赢了为止。似乎在所有人看来，只要本金足够，似乎此法无往而不利。那么这种做法可不可取？背后潜藏的玄机又在哪呢？我们从一个简单的游戏说起。

所用的概率论知识，一个正常上过大学的理工科的人都应该会懂。

游戏简单介绍

在我们的家乡广泛流行着一个“机会游戏”，叫做“六合彩”，其游戏规则如下：人的年龄（虚岁）对应着十二生肖，比如今年（2021 年）的年龄的生肖从属关系如下：
$$\begin{array}{llllllllllll}\text{ 猪 }& \text{ 狗 }& \text{ 鸡 }& \text{ 猴 }& \text{ 羊 }& \text{ 马 }& \text{ 蛇 }& \text{ 龙 }& \text{ 兔 }& \text{ 虎 }& \text{ 牛 }& \text{ 鼠 }\\ & & & & & & & & & & 1& 2\\ 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10& 11& 12& 13& 14\\ 15& 16& 17& 18& 19& 20& 21& 22& 23& 24& 25& 26\\ 27& 28& 29& 30& 31& 32& 33& 34& 35& 36& 37& 38\\ 39& 40& 41& 42& 43& 44& 45& 46& 47& 48& 49& \end{array}$$
现有一个大型的赌博公司，作为庄家，随机从这四十九个数字中抽取一个作为“开奖码”，彩民可以根据相应的规则进行压彩，压中则赢钱，压输则输钱。其压彩规则主要有以下几种：

1. 压单个数字，一赔四十的赔率，本金吃。
2. 压单双（奇偶），$80\%$ 的赔率，本金返还。
3. “包头”，亦即以生肖为单位，进行下注，一赔十，本金还。
4. 其它方式，诸如“红蓝绿波”的下注方式，由于篇幅限制，这里不再详述。

通过下文的叙述，主要说明及阐述以下三点问题:

• 第一，从时间上看，某个个体长期压，必输；从空间上看，由于此游戏分布足够广，玩的人足够多，每次开奖，作为赌博头子的“六合彩”公司，必然赢钱。

• 第二，大部分彩民存在着一种谬误心理：当单数或者双数开了足够多次了，不在开单数或者双数的可能性大大增加，这时候就可以以“赌金加倍”的形式开始跟踪压彩，只要资产够，最后必赢钱。彩民对“加倍赌注”的策略的信任揭示了人们对可能性的一种误解。

• 第三，求神拜佛信资料，不会增加彩民赢钱的概率，这是不可取的做法。

不公平的游戏

容易看到，在这个赌博中某个彩民一次下注的收益的数学期望值$E(x)=-1\times 48/49+39\times 1/49\approx -0.1834$（以压单号为例,其它类似），这是个负值。通俗地说，一块钱本该赔四十九块钱，但是只赔了四十块，于彩民而言，这是亏本的。也就是说，在你下注的次数足够多时，对于你压的每一块钱，平均来看，都要亏一角八分钱。

大数定律告诉我们，随着赌博次数（人数）的增加，开出某一个号码的频率会小有波动地稳定在概率附近。通俗地说，这就像是“掷硬币”，随着你掷硬币次数的增加，整体上看，出现正面的次数与总次数的比值会越来越接近二分之一。不难理解，随着下注次数的增加，由于每次“是否中奖”都是随机的，彩民压中的次数（以压单个数字为例）与压的总次数的比值一般会越来越接近$1/49$。由于数学期望是负值，彩民会亏。

有一次在街上，碰到一个熟人，说他认识的 $C$ 先生，由于压“六合彩”发财了，我感兴趣的只是这位“幸运的彩民”玩了多久“六合彩”。不妨假设，这个彩民玩了半年的六合彩，每周三次，把把必下注，那么他真的发财的概率（这就是这条消息为真的概率）有多少呢？某个彩民要下注多少次，才能让他输钱的概率足够稳定呢？换句话说，我们知道，彩民压中的频率会随着赌博时间的增长而越来越接近概率，那么彩民究竟要下注多少次，才能使频率足够稳定，足够接近概率呢？下面我用两种方式进行计算。

首先，可用中心极限定理来求解。考虑“某人每次都压一块钱，那么下注的次数 $n$ 至少要为多少，才有把握认为这个人不会赢钱”这个问题。不妨记

$${\mathbf{X}}_i=\begin{array}{ccc}1,& \text{ 此人第i次压中 }& i=1,2,\cdots ,n\\ 0,& \text{ 其他 }& \end{array}$$

则 $X_1,X_2\dots X_i\dots X_n$ 独立同 0-1 分布,可以用 $\mathrm{P}\left(40{\sum }_{i=1}^n{X}_i-n\le 0\right)\le 95\%$ 来刻画这个问题。

由中心极限定理，

$$\mathrm{P}\left(40\sum _{i=1}^n{X}_i-n\le 0\right)\approx \Phi \left(\frac{n-40np}{40\sqrt{np(1-p)}}+0.5\right)\ge 95\%$$

其中 $p=1/49$, 计算得到， $n$ 至少要为 1244 。通俗地讲，当这个人下注次数达到1244 次时，可以说他几乎已经不可能赢钱了。

下面我选择另一种方式来探讨这个问题。假设某个彩民只以单个号码的形式下注，且每 次都只在一个号码上压一块钱。截止目前共压了 $n$ 把。若要以 $99\%$ 来作为一个分位，那么 $n$ 到底要多大，才能使这个彩民输钱的概率较为稳定地达到 $99\%$ 呢？事实上，彩民压中的次数 $X$ 服从二项分布，即 $X\sim B(n,1/49)$, 而要赢钱的话，随机变量 $X$ 要满足 $40X-$

终于有人把赌徒谬误讲明白了

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