最短距离算法

Posted 2022-12-12 Nipuream

无权最短路径

无权图可以把每条路径的权看成是1，求解起来非常简单。这种图的求法一般用广度优先搜索，按层来处理顶点，和二叉树的层序遍历非常类似，如下：

<T extends Comparable<? Super T>>  void printTree(BinaryNode<T> t)

LinkedList<T> list = new LinkedList<>();
List.offer(t);

while(list.size()>0)
  T t = list.poll();
  System.println.out(t.element);
  if(t.left!=null) list.offer(t.left);
  If(t.right!=null)list.offer(t.right);
 

可以看到，使用链表来保存节点之前把父节点已经打印处理完了，直到没有儿子为止。

那么无权图的伪代码可以仿照层序遍历来写：

void unweighted(Vertex s)

Queue<Vertex> q = new Queue<Vertex>();

for each Vertex v 
   v.dist = INFINITY;

s.dist = 0;
q.enqueue(s);

while(!q.isEmpty())

 Vertex v = q.dequeue();

 for each Vertex w adjacent to v
    if(w.dist == INFINITY)
    
      w.dist = v.dist + 1;
      w.path = v;
      q.enqueue(w);
    
  

赋权最短路径

如果每条路径的长度不一样，那么求解起来要比无权的要复杂的多，这种情况一般采用Dijkstra算法，Dijkstra算法首先选择一个顶点s作为起点，然后计算出s的所有邻点到s的距离，选择权最短的那条路径的顶点，作为开始，同时标记这个顶点的距离为know的，一直循环到图中没有unknow的路径为止。

void dijkstra(Vertex s)

for each Vertex v 

 v.dist = INFINITY;
 v.know = false;


s.dist = 0 ;

while(there is an unknow distance vertex)

  Vertex v = smallest unknow distance vertex;
  v.know = true;

  for each Vertex w adjacent to v
     if(!w.know)
     
       //从V到W花费的距离
       DistType cvw = cost of edge from v to w;

       if(v.dist + cvw < w.dist)
       
          //更新W的dist
          decrease(w.dist to v.dist + cvw);
          w.path = v;
       
        
  


//打印路径
void printPath(Vertex v)

 if(v.path != null)
   printPath(v.path);
   System.out.print(“ to ”);
 
 System.out.print(v);

具有负边值的图

如果点到点的路径有负值的话，Dijkstra算法就行不通了，比如下面的情况：





按照Dijkstra算法的走向是s->v->u，此时s->u的最短距离是4。而从s->q->u走法，u的距离为-6。所以在这种情况下就不合法了，一般对于有负值边的图的处理方式是将广度优先搜索算法和Dijkstra算法结合起来，如下：

void weightNegative(Vertex s)

 Queue<Vertex> q = new Queue<>();

 for each Vertex v 
   v.dist = INFINITY;

s.dist = 0;
q.enqueue(s);

while(!q.isEmpty())

  Vertex v = q.dequeue();

  for each Vertex w adjacent to v
     if(v.dist + cvw < w.dist)
     
       w.dist = v.dist + cvw;
       w.path = v;
       if( w is not already in q)
         q.enqueue(w);
     
  

可以看到，通过计算最小距离入队的方式，来不停的改变各个顶点的距离，就不需要unknow这个属性了，但是却牺牲了大量的时间为代价。

资料

《数据结构与算法分析》