漫步最优化二十八——三次插值法

Posted 2022-12-11 会敲键盘的猩猩

$\\textbf没有你的世界，$
$\\textbf我会灵魂失控。$
$\\textbf没有你的世界，$
$\\textbf我被乌云拖着走。$
$\\textbf没有你的世界，$
$\\textbf我的世界一直狂风暴雨。$
$\\textbf我不能承受没有你的世界，$
$\\textbf因为我已经习惯有你的节奏。$
$\\textbf其实我的愿望很小，$
$\\textbf那就是每天看到你的微笑。$
$\\quad\\textbf——畅宝宝的傻逼哥哥$

另一个一维优化方法是三次插值法，它是基于三阶多项式
$$p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3$$

与二次插值法一样，我们需要确定系数$a_i$使得$p(x)$在某些点的值以及(或者)导数与$f(x)$的值以及(或者)导数相等，因为三阶不等式有四个系数，所以我们需要四个等式，选择不等式的方式有许多，因此三次插值的形式也有许多。

$p(x)$的图像可以是图1中的任何一个，显然，$p(x)$有一个极大值，还有一个极小值。令$p(x)$的一阶导等于零，即

$$p^\\prime(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2=0$$

然后求解$x$，可以得出$p(x)$的极值点为

$$x=\\frac13a_3\\left(-a_2\\pm\\sqrta_2^2-3a_1a_3\\right)$$

在极小点$\\barx$处，$p(x)$的二阶导数为正，所以

p″(x¯)=2a2+6a3xSSE图像算法优化系列十八：三次卷积插值的进一步SSE优化。

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