Educational Codeforces Round 83 (Rated for Div. 2) E. Array Shrinking 区间DP

Posted 2022-12-11 lasomisolaso~

题意：

给出一个序列 $a[1],a[2],a[3],...,a[n]$。可以进行如下操作：
选择两个相邻且相等的元素$a[i],a[i+1]$,将它们用一个元素$a[i]+1$代替。
问最后剩下的序列最短的长度是多少。

思路：

首先：

我们可以知道，最后形成的序列，每一个元素都是由一个区间进行上述操作而形成的。这一段区间一定是可以收缩成一个元素。那我们就可以枚举最后一个元素是由那一段元素组成，取一种最优的决策即可。

我们设$f[i]$表示前$i$个元素能形成的最短序列是多少。
$dp[i][j]$表示区间$[i,j]$是否能收缩成一个元素。
$dp[i][j]=-1$表示不能收缩成一个；
$dp[i][j]$不等于-1，表示该区间最后可以收缩成$dp[i][j]$这个元素。

那么就可以得出状态转移方程：
$f[i]={\max }_{j\le i,dp[i][j]!=-1}(f[i],f[j-1]+1)$.

求解$dp[i][j]$:

可以知道，一个区间能收缩成一个元素，一定是两种情况：

1. 这个区间长度为1，初始化$dp[i][j]=a[i]$。
2. 区间可以分成左右两个部分，左右部分分别收缩成一个元素，然后收缩成的两个元素再收缩成一个元素。这样我们只要枚举左右分段点即可。典型的区间dp。
   详细请看代码：

代码：

/**
* Author : Xiuchen
* Date : 2020-03-11-11.29.23
* Description : EE.cpp
*/
#pragma GCC optimize(1)
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3,"Ofast","inline")
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<map>
#include<cmath>
#include<math.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
const int maxn = 520;
int gcd(int a, int b)
    return b ? gcd(b, a % b) : a;

int n, a[maxn], f[maxn], dp[maxn][maxn];
int main()
    scanf("%d", &n);
    memset(dp, -1, sizeof(dp));
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", &a[i]);
        dp[i][i] = a[i];
    
    for(int len = 2; len <= n; len++)
        for(int l = 1; l + len - 1 <= n; l++)
            int r = l + len - 1;
            for(int k = l; k <= r - 1; k++)
                if(dp[l][k] != -1 && dp[k + 1][r] != -1 && dp[l][k] == dp[k + 1][r])
                    dp[l][r] = dp[l][k] + 1;
            
        
    
    memset(f, inf, sizeof(f));
    f[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++)
        for(int j = i; j >= 1; j--)
            if(dp[j][i] != -1)
                if(j == 1) f[i] = 1;
                else f[i] = min(f[i], f[j - 1] + 1);
            
        
    
    printf("%d\\n", f[n]);
    return 0;