Purfer序列

Posted 2022-12-11 Kalzn

Purfer序列是一个元素值域均为[1,n]的，n-2个整数构成的序列。其可以与一个n阶完全图的生成树一一对应，形成双射。凯莱定理即由此而来。
构造方法，
树构造purfer
每次选择编号最小的叶子节点，删去，然后把它的父节点的编号加入到序列后面，最后只剩下两个节点时算法停止。
从上述构造 Prufer 序列的过程可以看出 Prufer 序列具有以下两个性质：

1、在构造完 Prufer 序列后原树中会剩下两个节点，其中一个一定是编号最大的点 n。
2、每个节点在序列中出现的次数是其度数减 1，因此没有出现的就是叶节点。
purfer构造树
每次我们选择一个编号最小的度数为 1 的节点，与当前枚举到的 Prufer 序列的点连接，然后同时减掉两个点的度数。重复 n-2 次后就只剩下两个度数为 1 的节点，其中一个是 n，把它们连接起来即可。

P6086 【模板】Prufer 序列
下面时模板代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include <map>
#include <queue>
#include <set>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <string>
#include <list>
#include <bitset>
#include <array>
#include <cctype>
#include <time.h>
 
#pragma GCC optimize(2)

void read_f()  freopen("1.in", "r", stdin); freopen("1.out", "w", stdout);
void fast_cin()  std::ios::sync_with_stdio(false); std::cin.tie(); 
void run_time()  std::cout << "ESC in : " << clock() * 1000.0 / CLOCKS_PER_SEC << "ms" << std::endl; 
template <typename T>
bool bacmp (const T & a, const T & b)  return a > b; 
template <typename T>
bool pecmp (const T & a, const T & b)  return a < b; 

#define ll long long
#define ull unsigned ll
#define _min(x, y) ((x)>(y)?(y):(x))
#define _max(x, y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define max3(x, y, z) ( max( (x), max( (y), (z) ) ) )
#define min3(x, y, z) ( min( (x), min( (y), (z) ) ) )
#define pr(x, y) (make_pair((x), (y)))
#define pb(x) push_back(x);
using namespace std;

const int mod = 1e9+7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;

const int N = 5e6 + 7;
int n, f[N], p[N], d[N];
ll ans;

inline void TP() 
	for (int i = 1; i < n; i++) ++d[f[i]];
	for (int i = 1, j = 1; i <= n - 2; i++, j++) 
		while (d[j]) ++j; p[i] = f[j];
		while (i <= n - 2 && !--d[p[i]] && p[i] < j) p[i+1] = f[p[i]], ++i;
	
	for (int i = 1; i <= n - 2; i++) ans ^= 1ll * i * p[i];


inline void PT() 
	for (int i = 1; i <= n - 2; i++) ++d[p[i]]; 
    p[n-1] = n;
	for (int i = 1, j = 1; i < n; i++, j++) 
		while (d[j]) ++j; f[j] = p[i];
		while (i < n && !--d[p[i]] && p[i] < j) f[p[i]] = p[i+1], ++i;
	
	for (int i = 1; i < n; i++) ans ^= 1ll * i * f[i];


int main()

    int m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    if (m == 1)
    
        for (int i = 1; i < n; i++) scanf("%d", &f[i]);
        TP();
    
    else 
    
        for (int i = 1; i <= n-2; i++) scanf("%d", &p[i]);
        PT();
    
    printf("%lld\\n", ans);
    return 0;

purfer序列主要应用与生成树的计数。它有如下3种性质：
1、purfer序列与带编号无根树形成双射。
2、度数为di的点会在prufer中出现di-1次。
3、对于给定度数d1~n的一颗无根树，共有$\frac{(n-2)!}{{\prod }_{i-1}^n(d_i-1)!}$种情况。
其实最重要的不是构造prufer，而是性质三。。
性质3怎么来的？很简单的组合数学，序列一共有n-2个位置，挑出d[i]-1个给一个点，然后减去已被占有的位置，继续。
$$ans=\prod _{i-1}^n{C}_{d[i]-1}^{sum}=\frac{(n-2)!}{{\prod }_{i-1}^n(d_i-1)!}$$
其中：
$$sum=n-2-\sum _{j-1}^{i-1}(d[j]-1)$$
因为数目太大，当没有取模时，我们其实常常使用第一个式子，而不是第二个（会溢出）。
另外，如果度数序列之和不为2n-2。即为无解。（基础性质了）换做和purfer序列比较符合的结论就是
：一个度数序列有解，当且仅当${\sum }_{i-1}^n(d[i]-1)==n-2$。

P2290 [HNOI2004]树的计数
这个题就是用第一个公式推定的，因为用第二个会溢出，当然，如果有大佬质因子分解也可做QAQ。
下面是ac代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include <map>
#include <queue>
#include <set>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <string>
#include <list>
#include <bitset>
#include <array>
#include <cctype>
#include <time.h>
 
#pragma GCC optimize(2)

void read_f()  freopen("1.in", "r", stdin); freopen("1.out", "w", stdout);
void fast_cin()  std::ios::sync_with_stdio(false); std::cin.tie(); 
void run_time()  std::cout << "ESC in : " << clock() * 1000.0 / CLOCKS_PER_SEC << "ms" << std::endl; 
template <typename T>
bool bacmp (const T & a, const T & b)  return a > b; 
template <typename T>
bool pecmp (const T & a, const T & b)  return a < b; 

#define ll long long
#define ull unsigned ll
#define _min(x, y) ((x)>(y)?(y):(x))
#define _max(x, y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define max3(x, y, z) ( max( (x), max( (y), (z) ) ) )
#define min3(x, y, z) ( min( (x), min( (y), (z) ) ) )
#define pr(x, y) (make_pair((x), (y)))
#define pb(x) push_back(x);
using namespace std;

const int mod = 1e9+7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;

const int N = 156;
ll C[N][N];
ll d[N];
void init(int n)

    for (int i = 0; i <= n; i++)
    
        C[i][0] = C[i][i] = 1;
        for (int j = 1; j <= i; j++)
            C[i][j] = C[i-1][j] + C[i-1][j-1];
    


int main()


    int n; scanf("%d", &n);
    init(n);
    ll sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    
        scanf("%d", &d[i]), sum += d[i] - 1;
    
    if (n == 1)  puts(d[1] ? "0" : "1"); return 0; 
    if (sum != n - 2) puts("0"); return 0;
    ll ans = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    
        if (d[i] == 0) puts("0"); return 0;
        ans = ans * C[sum][d[i] - 1], sum -= d[i] - 1;        
    
    printf("%lld\\n", ans);
    return 0;