数值分析基础应用线性代数

Posted 2022-12-10 myjs999

自乘终零矩阵

满足以下任一条件的称为自乘终零矩阵。自乘终零矩阵$B$都满足以下三条件。

• $B^k\to O(k\to +\infty )。$其中$O$是零矩阵。
• $\rho (B)<1$。即谱半径小于$1$。
• 至少存在一种从属矩阵范数，满足$||B|{|}_m<1$。称这个（或这些中的某一个）范数为钻石范数或命定范数。

谱半径夹范数定理（谱夹范定理）

对于所有范数，$\rho (A)\le ||A||$。

对于任意$\epsilon >0$，至少有一种矩阵范数满足$||A|{|}_m\le \rho (A)+\epsilon$。

对于所有范数，$||B^k|{|}^{\frac{1}{k}}\to \rho (B),k\to +\infty$。

序列终零第一定理

$$A^{(k)}\to O,k\to +\infty ⟺A^{(k)}\mathbf{x}\to 0,\forall \mathbf{x},k\to +\infty$$

注意序列终零不是自乘终零。当然，自乘序列终零也是序列终零。

范数乘自由定理（定义） 范数加自由定理（三角不等式，定义）

$$||AB||\le ||A||||B||$$$$||A+B||\le ||A||+||B||$$

迭代解线性方程组

对于$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$，令$A=M-N$。其中$M$可逆。

则$(M-N)\mathbf{x}=\mathbf{b}$。$M\mathbf{x}=N\mathbf{x}+\mathbf{b}$。$\mathbf{x}=M^{-1}N\mathbf{x}+M^{-1}\mathbf{b}$。

令$B=M^{-1}N$，$\mathbf{f}=M^{-1}\mathbf{b}$。可以得到迭代形式${\mathbf{x}}^{(k+1)}=B{\mathbf{x}}^{(k)}+\mathbf{f}$。这属于单步定常迭代法。

要保证$M$可逆，一种简单的想法是让$M$就是$A$的对角部分，然后$N$是剩下的相反数。这种迭代法叫雅克比(Jacobi)迭代法。

实际上我们是一个一个算${\mathbf{x}}_i$的。如果算的时候已经算出${\mathbf{x}}_j^{(k+1)}$，那么要用${\mathbf{x}}_j^{(k)}$的时候就改成用这个新的值，这种迭代法叫Gauss-Seidel（高斯-赛德尔，简称GS）迭代法。不知道这个能优化多少，而且这个人显然不了解并行计算。

误差向量

设${\mathbf{x}}^{\ast }$是真正的解。记误差向量${\mathbf{e}}^{(k)}={\mathbf{x}}^{(k)}-{\mathbf{x}}^{\ast }$。那么收敛条件就是$${\mathbf{e}}^{(k)}\to 0,k\to +\infty$$注意这里是对任意的初始取值都要满足。即全局收敛。

而${\mathbf{e}}^{(k)}=B{\mathbf{x}}^{(k-1)}+\mathbf{f}-{\mathbf{x}}^{\ast }$。注意这里真正的解迭代之后依然是真正的解。
因此${\mathbf{e}}^{(k)}=B{\mathbf{x}}^{(k-1)}+\mathbf{f}-B{\mathbf{x}}^{\ast }-\mathbf{f}=B({\mathbf{x}}^{(k-1)}-{\mathbf{x}}^{\ast })=B{\mathbf{e}}^{(k-1)}。$也就是说新的误差向量就是上一个左乘$B$。

假设最开始取的x是${\mathbf{x}}^{(0）}$，对应的误差向量是${\mathbf{e}}^{(0)}$。那么${\mathbf{e}}^{(k)}=B^k$