容斥原理/莫比乌斯反演破译密码

Posted 2022-12-10 skywalker767

重学了一下莫反，感觉收获了好多。（原来你还记得自己学过莫反）

原题链接：https://www.acwing.com/problem/content/217/
题目描述：

达达正在破解一段密码，他需要回答很多类似的问题：
对于给定的整数 a,b 和 d，有多少正整数对 x,y，满足 x≤a，y≤b，并且 gcd(x,y)=d。作为达达的同学，达达希望得到你的帮助。

我们分析一下，题目很明了，要求的就是$gcd(x,y)=d$的个数，转化一下：
$$\begin{gathered} x^{\prime }=x/d,y^{\prime }=y/d \\ [gcd(x,y)=d]=[gcd(x^{\prime },y^{\prime })=1] \end{gathered}$$
这两个是等价的，但是看的时候我还是愣了一下(还是比较笨的)，但是仔细思考下，感觉还是很容易证明的。

证明：
首先，x , y 的最大公约数是d，那么我们除去最大公约数，两个数就互质了，这个毋庸置疑，对于每个$gcd(x,y)=d$都如此操作，那么可以证明，这两个的数量是一一对应的。
(这么显然，我还要思考一会，真滴笨！OVQ)

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那么我们的问题转化为：$x\le a/d$ , $y\le b/d$ ， $gcd(x,y)=1$的个数，我们考虑容斥原理：互质的数 = 总数 - 不是互质的数,
总数很容易，$a^{\prime }=a/d,b^{\prime }=b/d$ ， 那么总数就是$a^{\prime }\ast b^{\prime }$，下面分析下我们要减去的不互质的数：
$$\sum _{i=2}^{min(a,b)}[\frac{a^{\prime }}{i}]\ast [\frac{b^{\prime }}{i}]\ast mobius[i]$$
式子上午看的，人是上午没的，我直接喵喵喵？？ 愣了一会，发现显然(我是笨比).

证明：
我们要减去的是什么呢？是不互质的数，不互质数是什么呢？是最大公因数不为1的数，不为1，那可以为几呢？不是1就行（废话），我们枚举最大公因数不为1的个数即可。枚举每一个可能的最大公因数，并且计算个数。
当最大公因数是只有一个质因子的时候，我们可以列出：
$$[\frac{a^{\prime }}{2}]\ast [\frac{b^{\prime }}{2}]+[\frac{a^{\prime }}{3}]\ast [\frac{b^{\prime }}{3}]+.....$$
最大公因数是2的两对数，实际上就等2的倍数个数相乘， 这两个个数是等同的，同理3也是，但是我们要考虑重复的情况，如6，我们2，3，都枚举了一次，那么会重复，根据容斥原理，我们要减去，最后我们发现，其实符号就是$Mobius$函数（这个证明是显然的）。以此类推，枚举到$a^{\prime }$和$b^{\prime }$中较小的就可以了，因为大于较小的，则式子为0，我们就能推出上面的式子了。(被自己蠢哭了)

那么答案呼之欲出：
$$a^{\prime }{b}^{\prime }+\sum _{i=2}^{min(a,b)}[\frac{a^{\prime }}{i}]\ast [\frac{b^{\prime }}{i}]\ast mobius[i]$$

我们把这玩意合体一下
$$\sum _{i=1}^{min(a,b)}[\frac{a^{\prime }}{i}]\ast [\frac{b^{\prime }}{i}]\ast mobius[i]$$

（当当当当！）

然后我们发现，高兴的还是有点早，每次都是 $O(n)$，总体是$O(n^2)$，时间复杂度很大，我们忍受不了。

然后神奇的东西就出现了，我们称之为 “优雅的暴力——分块”。
下面来分析下分块，这个还好！没怎么卡。

首先，我们发现式子里面有很多取整，那么实际上数据应该是一段一段的，我们就可以考虑通过这点来加速，既然这一段都是一样的，我们直接一段一段的算，发现效率可观，可以达到$O(n\sqrt{n}))$,下面写下分块的原理，我们定义一个 get(x) 函数，这个函数和lowbit函数一样，虽然短小，但是精悍，他主要做的事是：传回当前一样的一段中，下标最大的那个，也就是 $\frac{a}{get(x)+1}$就会变小。

int get(int n , int x) 
	return n / (n / x);

我们说这玩意想着就是一段一段的，那么到底多少呢？答案是:$2\sqrt{a}$

证明： 我们把1到n分成：1到$\sqrt{a}$和$\sqrt{a}+1$到$n$,我们发现$\frac{a}{1\sim \sqrt{a}}$，只有 $\sqrt{a}$

BZOJ 2440: [中山市选2011]完全平方数 二分答案 + 容斥原理 + 莫比乌斯反演

CF900DUnusual Sequences 容斥（莫比乌斯反演）

A - Visible Lattice Points SPOJ - VLATTICE 容斥原理/莫比乌斯反演

[HAOI2011][bzoj2301] Problem b [莫比乌斯反演+容斥原理+分块前缀和优化]

(HDU 1695)GCD(容斥+莫比乌斯反演)