人工智能数学基础--概率与统计11:离散随机变量的超几何分布和负二项分布

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了人工智能数学基础--概率与统计11:离散随机变量的超几何分布和负二项分布相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

一、超几何分布

1.1、定义

假设N个产品中M个废品,以X记为从N个产品中随机抽出n个里面所包含的废品数m,则:
P ( X = m ) = ( m M ) ( n − m N − M ) / ( n N ) P(X=m) = \\Large (^M_m)(^N-M_n-m)/(^N_n) P(X=m)=(mM)(nmNM/nN
其中:0≤m≤M,n≤N,n-m≤N-M。

上述概率函数就是超几何分布的概率函数,之所以称为这个名字,是因为其形式与“超几何函数”的级数展开式有关。

1.2、与二项分布关系

这个分布在涉及抽样的问题中常用,特别当 N不大时。因为通常在抽样时,多是“无放回的”,即已抽出的个体不再有放回去以供再次抽出的机会,这就与把n个同时抽出的效果一样,如果一个一个地抽而抽出过的仍放回,则结果是二项分布。

对于二项分布,如果n/N很小,则放回与不放回差别不大。由此可见,在这种情况下超几何分布应与二项分布很接近,确切地说,若X服从超几何分布,则当n 固定时,M/N=p固定;N→∞时,X近似地服从二项分布B(n,p)。

二、负二项分布

2.1、结合例子的定义

为了检查某厂产品的废品率 p 大小,有两个试验方案可采取:一是从该厂产品中抽出若干个,检查其中的废品数X,这一方案导致二项分布;

另一个方案是先指定一个自然数r,一个一个地从该厂产品中抽样检查,直到发现第r个废品为止。以X记到当时为止已检出的合格品个数。显然,若废率p小,则X倾向于取较大的值;反之当p大时,则X倾向于取小值。故X可用于衡量p的大小。为计算X的分布,假定各次抽取的结果(是否为废品)是独立的,且每次抽得废品的概率保持固定为p。
考察X=i这个事件,为使这个事件发生,需要以下两个事件同时发生:

  1. 在前 i+r-1 次抽取中,恰有r-1个废品;
  2. 第 i+r 次抽出废品。

按所作假定,这两个事件的概率分别为b(r-1;i+r-1,p)和p。再由独立性,即得:
P ( X = i ) = b ( r − 1 ; i + r − 1 , p ) p    =   ( r − 1 i + r − 1 ) p r ( 1 − p ) i \\Large P(X=i) = b(r-1;i+r-1,p)p \\,\\, = \\,(^i+r-1_r-1)p^r(1-p)^i P(X=i)=b(r1;i+r1,p)p=(r1i+r1)pr(1p)i

这个分布称为负二项分布

2.2、负二项分布的由来

  1. 负二项分布这个名称的来由缘由在“负指数二项展开式”:
    ( 1 − x ) − r = ∑ 0 ∞ (      i − r ) ( − x ) i = ∑ 0 ∞ (        i i + r − 1 ) x i = ∑ 0 ∞ (      r − 1 i + r − 1 ) x i \\Large (1-x)^-r=\\sum\\limits_0^∞(^-r_\\;\\;i)(-x)^i=\\sum\\limits_0^∞(^i+r-1_\\;\\;\\;i)x^i=\\sum\\limits_0^∞(^i+r-1_\\;\\;r-1)x^i (1x)r=0ir(x)i=0(ii+r1)xi=0(r1i+r1)xi
    令x=1-p,并在上式左右两边等乘以 p r p^r pr,得到:
    1 = ∑ 0 ∞ (      r − 1 i + r − 1 ) ( 1 − p ) i p r 1 = \\sum\\limits_0^∞(^i+r-1_\\;\\;r-1)(1-p)^ip^r 1=0(r1i+r1)(1p)ipr
    这就证明了负二项分布的所有 P(X=i)的和等于1。
  2. 二项分布在试验抽样时,定下抽样个数n而把废品个数X作为变量,负二项分布则相反,是定下废品个数r,而把总抽样次数减去r作为变量,也基于此称为负二项分布。

老猿注:上面的推导中,用到了负数的组合数和负数的阶乘,相关定义与正数一样,因此有:
(      i − r ) = ( − r ) ! i ! ( − r − i ) ! = ( − r ) ( − r − 1 ) . . . ( − r − i + 1 ) i ! (^-r_\\;\\;i)=\\frac(-r)!i!(-r-i)!=\\frac(-r)(-r-1)...(-r-i+1)i! (ir)=i!(ri)!(r)!=i!(r)(r1)...(ri+1)
= ( − 1 ) i      r ( r + 1 ) . . . ( r + i − 1 ) i ! =(-1)^i\\;\\;\\fracr(r+1)...(r+i-1)i! =(1)ii!r(r+1)...(r+i1)
= ( − 1 ) i      ( r + i − 1 ) ! ( r − 1 ) ! i ! = ( − 1 ) i      (      i r + i − 1 ) =(-1)^i\\;\\;\\frac(r+i-1)!(r-1)!i!=(-1)^i\\;\\;(^r+i-1_\\;\\;i) =(1)i(r1)!i!(r+i1)!=(1)i(ir+i1)

2.3、负二项分布的特例

当取负二项分布中的r=1,则负二项分布变为了:
P ( X = i ) =   ( 0 i ) p ( 1 − p ) i = p ( 1 − p ) i \\Large P(X=i) =\\,(^i_0)p(1-p)^i=p(1-p)^i P(X=i)=(0i)p(1p)i=p(1p)i
这是一个公比为(1-p)的等比级数,也称为几何级数,这种情况下的分布称为几何分布

三、小结

本文介绍了离散随机变量的超几何分布、负二项分布、几何分布的概念,以及相关的公式推导,从介绍可知,他们与二项分布有密切的关系。

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