牛客剑指offer 剪绳子

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题目描述

给你一根长度为n的绳子,请把绳子剪成整数长的m段(m、n都是整数,n>1并且m>1,m<=n),每段绳子的长度记为k[1],…,k[m]。请问k[1]x…xk[m]可能的最大乘积是多少?例如,当绳子的长度是8时,我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段,此时得到的最大乘积是18。

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解题思路

一个整数先把他分成两部分,x+y=n(假设x>=y并且x-y<=1,也就是说x和y非常接近)那么乘积是xy。然后我们再把这两部分的差放大(x+1)+(y-1)=n(假设x>=y);他们的乘积是(x+1)(y-1)=xy-(x-y)-1,很明显是小于xy的,所以我们得出结论,如果把整数n分为两部分,那么这两部分的值相差越小乘积越大。
同理还可以证明如果分成3部分,4部分……也是相差越小乘积会越大。

根据上面的证明,如果我们把长度为n的绳子分为x段,则每段只有在长度相等的时候乘积最大,那么每段的长度是n/x。所以他们的乘积是(n/x)^x。我们来对这个函数求导

通过对函数求导我们发现,当x=n/e的时候,也就是每段绳子的长度是n/x=n/(n/e)=e的时候乘积最大。我们知道e=2.718281828459。而题中我们的绳子剪的长度都是整数,所以不可能取e,我们只能取接近e的值,也就是3的时候乘积最大。

但也有例外,当n<=4的时候会有特殊情况,因为22>13。明白了这点代码就容易多了,如果n大于4,我们不停的把绳子减去3,

代码示例

public class Solution 
    public int cutRope(int target) 
        if (target == 2 || target == 3)
            return target - 1;
        int res = 1;//累计3的个数
        while (target > 4) 
            //如果target大于4,我们不停的让他减去3
            target = target - 3;
            //计算每段的乘积
            res = res * 3;
        
        return target * res;
    

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