莫比乌斯反演约数个数和

Posted 2022-12-08 skywalker767

日拱一卒，功不唐捐

题目描述
设 $d(x)$ 为 $x$ 的约数个数，给定 $N,M$，求
$$\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^{M}d(ij)$$
输入格式
输入多组测试数据。
第一行，一个整数 T，表示测试数据的组数。
接下来的 T 行，每行两个整数 N、M。

原式等价于
$$\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^{M}d(ij)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\sum _{x|j}\sum _{y|j}[(x,y)=1]$$
这个题看完后，我发现，原来，有的题，还没有开始，就已经结束了。这个转化极其精妙，我等愚钝，只能站在前人的肩膀上了。
证明
对于每一个$i,j$
我们都能写为其质因子相乘的形式：
$$\begin{gathered} i=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}{p}_3^{{\alpha }_3}.....p_n^{{\alpha }_n} \\ j=p_1^{{\beta }_1}{p}_2^{{\beta }_2}{p}_3^{{\beta }_3}.....p_n^{{\beta }_n} \\ i\ast j=p_1^{{\alpha }_1+{\beta }_1}{p}_2^{{\alpha }_2+{\beta }_2}{p}_3^{{\alpha }_3+{\beta }_3}.....p_n^{{\alpha }_n+{\beta }_n} \end{gathered}$$
这里$\alpha$和$\beta$可以为0.
约数个数显然为
$$({\alpha }_1+{\beta }_1+1)+({\alpha }_2+{\beta }_2+1)+({\alpha }_3+{\beta }_3+1)+...+({\alpha }_n+{\beta }_n+1)$$
那么我们要证明其跟最大公约数有关，不妨列出每一个$i,j$对于每个$p_i$的取 值，我们发现 , i 可以取:
$$1,p_i,p_i^2...p_i^{{\alpha }_n}$$
j可以取到
$$1,p_i,p_i^2...p_i^{{\beta }_n}$$
并且当一个不取1的时候，另外一个肯定取1，那么总共有$\alpha +\beta +1$中取法，对于每一个都是如此，所以
∑ x ∣ j ∑ y ∣ j [ ( x , y ) = 1 ] = ( α 1 + β 1 + 1 ) + ( α 2 + β 2 + 1 ) + ( α 3 + β 3 + 1 )