动态规划之字符串拆分

Posted 2022-12-08 Flammable_ice

                 某种字符串处理语言允许程序员将一个字符串拆分为两段。由于此操作需要复制字符串，因此要花费n个时间单位来将一个n个字符的字符串拆为两段。假定一个程序员希望将一个字符串拆分为多段，拆分的顺序会影响所花费的总时间。例如，假定这个程序员希望将一个20个字符的字符串在第2个，第8个以及第10个字符后进行拆分(字符由左至右，从1开始升序编号)。如果她按由左到右顺序进行拆分，则第一次拆分花费20个时间单位，第二次拆掉分花费18个时间单位(在第8个字符处拆分3-20间的字符串)而第三次拆分花费12个时间单位，共花费50个时间单位。但如果她按由右至左的顺序进行查分，第一次拆分花费12个时间单位，第二次拆分花费10个时间单位，而第三次拆分花费8个时间单位，共花费38个时间单位。还可以按其他顺序，比如，她可以首先在第8个字符处进行拆分(时间20)，接着在左边一段第2个字符处进行拆分(时间8)，最后在右边一段第10个字符处进行拆分(时间12)，总时间为40.

                  设计算法，对给定的拆分位置，确定最小代价的拆分顺序，更形式化地，给定一个n个字符的字符串S和一个保存m个拆分点的数组L[1..m],计算拆分的最小代价，以及最优拆分序列。

解题思路：字符串拆分可以看做是矩阵链乘法的一个翻版，只是要注意边界条件。字符串拆分要二个拆分点之间必须有一个拆分点才能拆分，cost[i][j]表示从第i个拆分点到第j个拆分点最小花费。那么需要满足j-i>=2条件才可拆分。于是有如下递归式：

递归式：当j-i<=1时 cost[i,j]=0；当j-i>=2时，cost[i,j]=mincost[i,k]+cost[k,j]+L[j]-L[i]+1.这样根据递归式，我们可以写出如下代码。

代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
#define n 7//变更拆分点数目
void BREAK_STRING(int L[],int Break[][n+1])
//cost[i][j]代表第i个拆分点到第j个拆分点所用的最小花费
   int cost[n+1][n+1]=0,i;
   for (int l=2;l<=n;l++)
   
	   for ( i=1;i<=n-l+1;i++)
	   
		   int j=i+l-1;
		   if(j-i>=2) cost[i][j]=0x7fffffff;//if(j-i>=2)//这里和矩阵链不同，需要加限制条件。
		   for (int k=i+1;k<=j-1;k++)//这里也和矩阵链不同，需要从k=i+1开始
		   
			   int temp=cost[i][k]+cost[k][j]+L[j-1]-L[i-1]+1;
               if (temp<cost[i][j])
			   
				   cost[i][j]=temp;
				   Break[i][j]=k;
			   
		   
	   
   

void PRINT_BREAKS(int L[],int Break[][n+1],int i,int j)
//按照顺序打印拆分点
	if (j-i>=2)
	//既然是字符串拆分，那么拆分点i与j之间必须还有一个拆分点，所以j-i至少是2
		cout<<L[Break[i][j]-1]<<" ";
		PRINT_BREAKS(L,Break,i,Break[i][j]);
		PRINT_BREAKS(L,Break,Break[i][j],j);
	

void main()
   //先对拆分点按照升序排序。
    //int L[n]=1,2,8,10,20,Break[n+1][n+1]=0;//设置开始点为1与结尾点为20，中间三个点2，8，10为拆分点。
	int L[n]=1,11,14,17,20,25,30,Break[n+1][n+1]=0;//设置开始点为1与结尾点为20，中间三个点2，8，10为拆分点。
	BREAK_STRING(L,Break);
	PRINT_BREAKS(L,Break,1,n);

 样例输出：

总结： 和矩阵链乘法一样，都是O(n³)时间，占用O(n²)空间。只要看懂书上矩阵链乘法那节就可以轻松理解这个题目。