leetcode115.不同的子序列（动态规划）

Posted 2022-12-08 北川_

题目描述
给定一个字符串 s 和一个字符串 t ，计算在 s 的子序列中 t 出现的个数。
字符串的一个 子序列 是指，通过删除一些（也可以不删除）字符且不干扰剩余字符相对位置所组成的新字符串。（例如，“ACE” 是 “ABCDE” 的一个子序列，而 “AEC” 不是）

问题：s中与t相同的子序列的个数
子问题：s的子串中与t相同的子序列的个数
状态F(i, j)：s的前i个字符构成的子串中与t前j个字符相同的子序列的个数
if(s[i] == t[j])：
如果使用第i个字符，那这个字符只能作为子序列最后一个字符，相当于和t的第j个字符匹配：
F(i - 1, j - 1)
如果不使用第i个字符：F(i - 1, j)
例如s：rabbb，t：rabb
此时s的第五个字符和t的第四个字符相同，s[5] == t[4]，
此时如果使用s的第五个字符，rabbb rabb
意味着要在s的前4个字符中找与t前3个字符相同的子序列个数，
F(4, 3)：rabb或者rabb，然后在加上最后的s[5]就是F(5, 4);
如果不使用s的第五个字符，代表在s的前4个字符中找和t前4个字符相同的子序列的个数，也就是在s：rabb中找t：rabb，所以结果就一个rabb
F(4, 4)：rabb
可以看出这两种状态并不重复，所以
if(s[ i ] == t [ j ]):
F(i, j) ：F(i - 1, j - 1) + F(i - 1, j)
if(s[i] != t[j])这种状态下肯定不能使用第i个字符，所以状态退化到上一个字符，F(i, j) ：F(i - 1, j)
画个图：
行表示字符串s，列表示字符串t，每一个格子表示s的前i个字符构成的子串中与t前j个字符相同的子序列的个数

假设t中有一个空字符串，s中任意长度字符串都可以构成这个空串，所以第一列初始化为1，
而一旦横坐标小于纵坐标，说明s字符串的长度小于t，这种情况下，t根本不可能是s的子序列，就全设置为0。
代码

class Solution 
public:
    int numDistinct(string s, string t) 
        int row = s.size() + 1;
        int col = t.size() + 1;
        vector<vector<unsigned long long>> dp(row, vector<unsigned long long>(col));
        dp[0][0] = 1;
        for(int i = 1; i < row; ++i)
        
            dp[i][0] = 1;
            for(int j = 1; j < col; ++j)
            
                if(i < j)
                    break;
                if(s[i - 1] == t[j - 1])
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
                else
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            
        
        return dp[row - 1][col - 1];
    
;

另外跟着图走一遍就会发现美每个状态都是根据上一行推出的，所以可以对代码进行优化，用一维数组就可以，但是需要注意的是，状态的推导要从后向前，如果从前往后更新数据，就变成由自己的一行推出的，导致错误。
代码

class Solution 
public:
    int numDistinct(string s, string t) 
        int col = t.size() + 1;
        vector<unsigned long long> dp(col);
        dp[0] = 1;
        for(int i = 0; i < s.size(); ++i)
        
            for(int j = col - 1; j >= 1; --j)
            
                if(s[i] == t[j - 1])
                    dp[j] += dp[j - 1];
            
        
        return dp[col - 1];
    
;