有趣的数学证明

Posted 2022-12-07 amcle

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“谢谢大家出席这次会议，大家能给我们数学界第一的十大最帅气证明一个面子，是我们十兄弟的荣幸，再次谢谢各位兄弟姐妹的捧场”！

“呸，我们十大最凶残公式才是数学界第一，我们曾经在英国的科学期刊《物理世界》被评为世界最伟大的十大公式，你们算啥？”

“原来是喜欢砸场子的十大公式，你们虽然在数学界小有名气，可是想和我们争数学界第一真是痴人说梦，我们十大证明在数学证明中包含的美丽和精妙是数学界无与伦比的一道风景线，更厉害的是我们的帅气都不需要用语言来描述”！

“呦呦呦，唬谁呢，我们十大公式不仅仅是数学家和物理学家的智慧结晶，更是人类文明的集中体现，每一个公式都深深影响了人类社会的变革，甚至塑造了人类的思想”，“你们十大公式是不是只会吹牛逼，有种的话拿出实力和我们比一比”，“比就比，谁怕谁”！

不需要语言的十大帅气证明

1.勾股定理

这个是大家小学就学过的古老定理，有着无数传奇故事，我们可以很随意的写出它的10个不同的证明方法，而路明思（Elisha Scott Loomis）在 《毕达哥拉斯命题》（ Pythagorean Proposition）提到这个定理的证明方式居然有367种之多，实在让人惊讶，这里给出一个不需要语言的证明方法。

实际上勾股定理是余弦定理的一种特殊情况，而余弦定理的证明，同样可以不用语言。

2.关于反正切的恒等式

关于反正切，有如下两个很精彩的等式：

arctan1/2+arctan1/3=π/4

acrtan1+arctan2+arctan3=π

它们的证明方法也同样精彩。

3.几何平均值小于算术平均值

这是不等式中最重要和基础的等式：

它也可以通过图形来证明，

注意到△ABC∽△DBA,可以很轻松地得到AB=√ab，剩下的就显而易见了。

4.1+3+5+…+（2n-1）= n 2

这是奇数的求和公式，下图是当 n=8时的情形。

5.平方数的求和公式

一个很漂亮的公式，证明的过程更令人眼前一亮。

6.立方数的求和公式

立方数的求和证明与平方数的求和证明方法有些相像。

7.斐波那契数列的恒等式

可谓家喻户晓的斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21 ……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和，即F n+1= F n+ F n-1，

它的通项公式是，

有趣的是，这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的，而且当n无穷大时，F n-1 / F n 越来越逼近黄金分割数0.618，正因为它的种种神奇性质，美国数学会甚至从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊。

关于斐波那契数列，有一个恒等式是这样的，

这个等式很漂亮，不需要借助复杂的数学推导，它有一个很直观的证明方法。

8.结果为1/3的一组分子式

下面是一组分子式，他们的结果都等于1/3：

让我们用若干个小球看待这个公式，

9.最受数学家喜爱的无字证明

1989 年的《美国数学月刊》（American Mathematical Monthly）上有一个貌似非常困难的数学问题：下图是由一个个小三角形组成的正六边形棋盘，现在请你用右边的三种（仅朝向不同的）菱形把整个棋盘全部摆满（图中只摆了其中一部分），证明当你摆满整个棋盘后，你所使用的每种菱形数量一定相同。

《美国数学月刊》提供了一个非常帅的“证明”，把每种菱形涂上一种颜色，整个图形瞬间有了立体感，看上去就成了一个个立方体在墙角堆叠起来的样子，三种菱形分别是从左侧、右侧、上方观察整个立体图形能够看到的面，它们的数目显然应该相等。

它把一个纯组合数学问题和立体空间图形结合在了一起，实在让人拍案叫绝，这个问题及其鬼斧神工般的“证明”流传甚广，深受数学家们的喜爱。

10.棋盘上的数学证明

在一个8×8的国际象棋棋盘上，我们可以用32张多米诺骨牌（是两个相连正方形的长方形牌）覆盖整个棋盘上的64个方格，

如果将对角线上的两个方格切掉，剩下来的62个格子还能用31张骨牌覆盖住吗？

答案是不能的，

每一张骨牌在棋盘上必是覆盖住两个相邻方格，一白一黑，所以31张骨牌应该可以盖住31个黑格和31个白格，而这被切了角的棋盘上的方格有32个是一种颜色，另一种颜色是30个，因此是不能被31张骨牌覆盖的。

但是如果我们切掉的不是颜色相同的两个呢？

假如我们从棋盘的任何部位切掉两个颜色不同的方格，那么剩下来的62格是否一定能被31张骨牌完全盖住？我可以告诉你这是一定能做到的，并且关于这个结论，存在一个非常漂亮的证明。

上图就是那个漂亮的证明，粗黑线条将整个棋盘转变为一条首尾相连、黑白格相间的封闭路线，从这棋盘上切掉任何两个颜色不同的方格，会让这个封闭线路变成两段线路（如果切掉的方格是相连的，那就是一条线路），在这两段（或一段）线路中，两种颜色的格子数量都是偶数，故分别都可以被若干张骨牌覆盖，从而证明整个棋盘可以被31张骨牌完全覆盖。

这个著名的棋盘问题是数学游戏大师马丁•加德纳提出的，而上述精妙绝伦的证明则是数学家哥莫瑞（Ralph Gomory）找到的，它们后来被收录在《意料之外的绞刑和其他数学娱乐》这本书里。

“你们十大证明的实力确实不错，但是在我们十大伟大公式的面前根本不值得一提，接下来就让你们见识见识我们十大公式的厉害”。

最伟大的十大凶残公式

NO.10 圆的周长公式(The Length of the Circumference of a Circle)

创立者：古人

意义：自然界之美的数学表达。

这公式贼牛逼了，初中学到现在，目前，人类已经能得到圆周率的2061亿位精度，现代科技领域使用的-圆周率值，有十几位已经足够了，如果用 35位精度的圆周率值，来计算一个能把太阳系包起来的一个圆的周长，误差还不到质子直径的百万分之一。

No.9 傅立叶变换(The Fourier Transform)

创立者：让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅立叶

意义：任何不规则的信号都可以表示为规则的正弦波无限叠加，它是数字信号处理领域的很重要的方法。

简要地说没有这个式子没有今天的电子计算机，所以你能在这里上网除了感谢党感谢政府还要感谢这个完全看不懂的式子，另外傅立叶虽然姓傅，但他是个法国人。

No.8 德布罗意方程组(The de Broglie Relations)

创立者：路易·维克多·德布罗意

意义：德布罗意认为，任何物质既有粒子性，又有波动性，或者说，任何物质也可以看成是一种波，包括人本身，人不但是作为一种物质存在，某种意义上也是一种波。

这个东西也挺牛逼的，高中物理学到光学的话很多概念跟它是远亲，简要地说德布罗意这人觉得电子不仅是一个粒子，也是一种波，它还有 “波长”，于是搞啊搞就有了这个物质波方程，表达了波长、能量等等之间的关系，同时他获得了1929年诺贝尔物理学奖。

No.7 1+1=2

这个公式简直凶残到不行，残暴到无话可说。

当我们人类第一个意识到1+1=2，进而认识到两个数相加得到另一个确定的数时，这一刻是人类文明的伟大时刻，因为他发现了一个非常重要的性质——可加性，这个性质及其推广正是数学的全部根基，它甚至说出数学为什么用途广泛的同时，告诉我们数学的局限性。

No.6 薛定谔方程(The Schr?dinger Equation)

创立者：埃尔温·薛定谔

意义：在量子力学中描述物体的状态不能像经典力学中一样用位移、速度等，而只能用一个物理量的函数来描述，这个物理量也不再是某个确定的值，而是一个随时间分布的概率，每一个微观系统都有相应的薛定谔方程，薛定谔方程在量子力学中的意义与牛顿第二定律在经典力学中的意义一样。

薛定谔方程是世界原子物理学文献中应用最广泛、影响最大的公式，由于对量子力学的杰出贡献，薛定谔获得1933年诺贝尔物理奖。

No.5 质能方程(Mass–energy Equivalence)

创立者：阿尔伯特·爱因斯坦

意义：质能方程深刻地揭示了质量与能量之间的关系，在此之前，人们毫无疑问的认为，质量是质量，能量是能量，两者间没有联系，正是质能方程的发现才有原子弹、氢弹的爆炸，这个方程更重要的是彻底地颠覆了人类固有思想，促进人类文明的进步。

好像从来没有一个科学界的公式有如此广泛的意义，在物理学“奇迹年”1905年，由一个叫做爱因斯坦的年轻人提出，同年他还发表了《论动体的电动力学》——俗称狭义相对论，这个公式告诉我们，爱因斯坦是牛逼的，能量和质量是可以互换的,另外他有个副产品：原子弹。

No.4 勾股定理/毕达哥拉斯定理(Pythagorean Theorem)

创立者：毕达哥拉斯（也有认为我国商代就已经出现勾股定理并加以证明）

意义：勾股定理是用数学方法解决图形问题的典型方法，目前有400多种的证明形式，勾三股四弦五是如此深入每一个地球人的心灵。

做数学不可能没用到过吧，不多讲了。

No.3 牛顿第二定律(Newton’s Second Law of Motion)

创立者：艾萨克·牛顿

意义：牛顿第二定律是经典物理学的核心，它适用于我们日常生活的方方面面，它标志着真正物理学研究的开始，没有牛顿，人类文明会在黑暗的世界中度过更长的时间。

有史以来最伟大的没有之一的科学家在有史以来最伟大没有之一的科学巨作《自然哲学的数学原理》当中的被认为是经典物理学中最伟大的没有之一的核心定律，动力的所有基本方程都可由它通过微积分推导出来。

No.2 欧拉公式(Euler’s Identity)

创立者：莱昂哈德·欧拉

意义：数学上有许多公式都是欧拉发现的，因此欧拉公式并不是某单一的公式，欧拉公式广泛分布于数学的各个分支中，瑞士教育与研究国务秘书Charles Kleiber曾表示：“没有欧拉的众多科学发现，今天的我们将过着完全不一样的生活”，法国数学家拉普拉斯则认为：读读欧拉，他是所有人的老师，

欧拉是历史上最多产的数学家，也是各领域(包含数学的所有分支及力学、光学、音响学、水利、天文、化学、医药等)最多著作的学者，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”。

欧拉出生于瑞士，31岁丧失了右眼的视力，59岁双眼失明，但他性格乐观，有惊人的记忆力及集中力。他一生谦逊，很少用自己的名字给他发现的东西命名，不过还是命名了一个最重要的一个常数——e。

关于e，以前有一个笑话说：在一家精神病院里，有个病患整天对着别人说，“我微分你、我微分你”，也不知为什么，这些病患都有一点简单的微积分概念，总以为有一天自己会像一般多项式函数般，被微分到变成零而消失，因此对他避之不及，然而某天他却遇上了一个不为所动的人，他很意外，而这个人淡淡地对他说，“我是e的x次方”。

这个公式的巧妙之处在于，它没有任何多余的内容，将数学中最基本的e、i、π放在了同一个式子中，同时加入了数学也是哲学中最重要的0和1，再以简单的加号相连。

高斯曾经说：“一个人第一次看到这个公式而不感到它的魅力，他不可能成为数学家”.

No.1 麦克斯韦方程组(The Maxwell’s Equations)

创立者：詹姆斯·克拉克·麦克斯韦

意义：将电场和磁场有机地统一成完整的电磁场。并创立了电磁场理论，而没有电磁学理论，就不会有现在的社会文明。

积分形式：

微分形式：

任何一个能把这几个公式看懂的人，一定会感到背后有凉风——如果没有上帝，怎么解释如此完美的方程?这组公式融合了电的高斯定律、磁的高斯定律、法拉第定律以及安培定律。

比较谦虚的评价是：“一般地，宇宙间任何的电磁现象，皆可由此方程组解释”，到后来麦克斯韦仅靠纸笔演算，就从这组公式预言了电磁波的存在。

这个方程组完美统一了整个电磁场，让爱因斯坦始终想要以同样的方式统一引力场，并将宏观与微观的两种力放在同一组式子中：即著名的“大一统理论”。

爱因斯坦直到去世都没有走出这个隧道，而如果一旦走出去，我们将会在隧道另一头看到上帝本人。

当十大帅气证明和十大凶残公式纷纷介绍完之后，一场天昏地暗的群殴之战就这样展开了。