Codeforces Round #730 div.2 A-E题解

Posted 2022-12-06 欣君

视频讲解：BV19g411u7P6

A. Exciting Bets

题目大意

给定整数 $a,b(0\le a,b\le 10^{18})$ ，可以对其修改任意次数，使得 $gcd(a,b)$ 最大。求修改后的 $gcd(a,b)$ 与最小修改次数。
每次修改时，可以将 $a,b$ 都增加 $1$ ，或减少 $1$ （只有当 $a,b>0$ 时才能减少）。
若 $gcd(a,b)$ 可以无穷大，则输出 “0 0” 。
当 $x\ge 0$ 时，认为 $gcd(x,0)=x$ 。

题解

若 $a=b$ ，则 $gcd(a,b)$ 可以无穷大。反之，最大的 $gcd(a,b)$ 为 $|a-b|$ 。
证明：
设所有操作后， $a,b$ 增加了 $x$ ，变为 $a+x,b+x$ ， $gcd(a+x,b+x)=g$ ，则
$$a+x=k_1\ast g$$

$$b+x=k_2\ast g$$

$$a-b=(k_1-k_2)g$$

可得 $g$ 是 $a-b$ 的因子，最大就是 $|a-b|$ ，证毕。

若 $x\ge 0$ ，则 $x=\lfloor \frac{a+g-1}{g}\rfloor \cdot g-a$ ；
若 $x<0$ ，则 $|x|=a-\lfloor \frac{a}{g}\rfloor \cdot g$ ；
最小步数为其中的较小值。

参考代码

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;

int main()

	ll T,a,b,g,ad1,ad2;
	scanf("%lld",&T);
	while(T--)
	
		scanf("%lld%lld",&a,&b);
		if(a==b)
		
			printf("0 0\\n");
			continue;
		
		g=abs(a-b);
		ad1=(a+g-1)/g*g-a;
		ad2=a-a/g*g;
		printf("%lld %lld\\n",g,min(ad1,ad2));
	

B. Customising the Track

题目大意

有 $n(1\le n\le 2\cdot 10^5)$ 个轨道，编号从 $1$ 到 $n$ 。第 $i$ 个轨道上有 $a_i$ 辆车。
你可以执行任意次修改，每次修改可以将一辆车移动到另一个轨道上。
求修改后的最小 ${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j==i+1}^n|a_i-a_j|$ 。

题解

观察表达式，易得 $a_i$ 尽可能平均分布时最优。
但 $sum={\sum }_{i=1}^n{a}_i$ 不一定能等分为 $n$ 份。设每个轨道上有 $ave=\lfloor \frac{sum}{n}\rfloor$ 辆车，则还剩余 $last=sum-ave\cdot n$ 辆车。
将 $last$ 辆车放置在任意轨道中，每个轨道放置一辆，则有 $last$ 个轨道有 $ave+1$ 辆车，有 $n-last$ 个轨道有 $ave$ 辆车。
答案 $ans=last\cdot (n-last)$

参考代码

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;

int main()

	ll T,n,x,sum,i,last,ans;
	scanf("%lld",&T);
	while(T--)
	
		scanf("%lld",&n);
		sum=0;
		for(i=1;i<=n;i++)
		
			scanf("%lld",&x);
			sum+=x;
		
		last=sum-sum/n*n;
		ans=last*(n-last);
		printf("%lld\\n",ans);
	

C. Need for Pink Slips

题目大意

有三种奖品，分别简称为C奖品，M奖品，P奖品。每次获取奖品时，会随机从中获得一项，概率分别为 c , m , p ( 0 < c , m , p < 1 , c + m + p = 1