[NOI2019]机器人

Posted 2022-12-06 StaroForgin

机器人

题解

首先对于这道题，我们是比较容易得到一个$O\left(n^{2}B\right)$的$dp$做法的。
我们定义$d{p}_{l,r,k}$表示对于区间$[l,r]$，其中最大值为$k$，且机械人不能走出区间$[l,r]$的方案数。
其中转移我们可以考虑枚举最后一个大小为$k$的机械人在哪里，显然，它前面的机械人往后走都是不可能超过它的，它后面的也不可能走到它前面去，这样整个区间就被分成两半了，可以区间$dp$。
由于对于任意一个区间，为了满足两边距离差的绝对值不超过$2$，可以放机械人的位置只会有常数个。
只需要再同时维护一个前缀和，就可以$O\left(n^{2}B\right)$了。
但有用的区间真的有$O(n^2)$吗？题目奇怪的性质好像会使绝大多数区间都不会贡献到答案。
经代码验证，真正有用的区间不会超过$3000$个，这样就大大提升了我们代码运行的效率，基本已经可以过前$50$分。

关注之后$A=1,B=10^9$的部分分。
我们不妨理性猜测这是一个以$[A,B]$为值域的多项式，考虑归纳证明。
显然，对于$i=j$的情况，$d{p}_{i,j}(x)=1$。
再将它做个前缀和，多项式的前缀和不也是多项式？下面用$d{p}^{\prime }$表示做了前缀和了的$dp$。
再来看$d{p}_{l,r}$的转移式，$d{p}_{l,r}(x)={\sum }_{mid}[|(r-mid)-(mid-l)|⩽2]d{p}_{l,mid-1}^{\prime }(x)d{p}_{mid+1,r}^{\prime }(x)$，这不就是把递归到两边的多项式乘起来吗？这不还是一个多项式？
于是我们就完成了证明。
同时通过上面的递归过程，我们可以知道$d{p}_{l,r}$是个$r-l$次的多项式，$d{p}^{\prime }$自然是$r-l+1$次的多项式。
然后就可以拉格朗日插值了。

有了上面的经验，自然可以想到对于之后的点我们将$[A,B]$进行离散化，并在离散化后的每个连续区间内，$d{p}_{l,r}$都是一个多项式。
这是显然的，毕竟在这区间外的位置的答案对里面的贡献都只是一个常数，并不会影响它是不是一个多项式。
那么我们只需要对于离散化后得到的值域区间依次对整个序列区间$dp$求解，并在之后保留下来上一次求解得到的前缀和以辅助下一次$dp$求解，就能够很快地得到整个区间的答案了。
另外，如果插值的时候当前值域区间不足$r-l+2$个，我们可以只插值域区间长度这么多的值，毕竟这样就可以应付我们所有的询问了。

记$m$为有用区间长度的平方和（显然是比较小的），最后总时间复杂度为$O\left(mn\right)$。

源码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
typedef pair<int,int> pii;
#define MAXN 4005
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
#define lowbit(x) (x&-x)
const int mo=1e9+7;
const int inv2=5e8+4;
const int jzm=2333;
const int zero=15;
const LL INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const double Pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-9;
const int lim=1000000;
const int orG=3,ivG=332748118;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x)return x<0?-x:x;
template<typename _T>
void read(_T &x)
    _T f=1;x=0;char s=getchar();
    while(s<'0'||s>'9')if(s=='-')f=-1;s=getchar();
    while('0'<=s&&s<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();
    x*=f;

int add(int x,int y,int p)return x+y<p?x+y:x+y-p;
void Add(int &x,int y,int p)x=add(x,y,p);
int qkpow(int a,int s,int p)int t=1;while(s)if(s&1)t=1ll*a*t%p;a=1ll*a*a%p;s>>=1;return t;
int n,a[305],b[305],d[605],totd,ls[MAXN],rs[MAXN];
int g[MAXN][605],id[305][305],idx;pii cp[305];bool vis[MAXN][605];
struct poly
    int m,a[305];poly()m=0;
    void clear()for(int i=0;i<=m;i++)a[i]=0;
    poly operator + (const poly &rhs)const
        poly res;res.m=max(m,rhs.m);res.clear();
        for(int i=0;i<=m;i++)res.a[i]=a[i];
        for(int i=0;i<=rhs.m;i++)Add(res.a[i],rhs.a[i],mo);
        return res;
    
    poly operator * (const int &rhs)const
        poly res;res.m=m;res.clear();
        for(int i=0;i<=m;i++)res.a[i]=1ll*rhs*a[i]%mo;
        return res;
    
    poly operator ^ (const int &rhs)const
        poly res;res.m=m+1;res.clear();
        for(int i=0;i<=m;i++)res.a[i]=mo-1ll*rhs*a[i]%mo;
        for(int i=0;i<=m;i++)Add(res.a[i+1],a[i],mo);
        return res;
    
    int ask(int x)
        int res=0,now=1;
        for(int i=0;i<=m;i++,now=1ll*x*now%mo)
            Add(res,1ll*a[i]*now%mo,mo);
        return res;
    
dp[MAXN],TP;
void init(int l,int r)
    if(id[l][r])return ;
    id[l][r]=++idx;dp[idx].m=dp[idx].a[0]=0;
    if(l==r)return ;int rt=id[l][r];
    for(int i=l;i<=r;i++)
        if(Fabs((i-l)-(r-i))<=2)
            if(l<i)init(l,i-1);
            if(r>i)init(i+1,r);
            if(!ls[rt少儿编程 电子学会机器人等级考试一级真题解析判断题2019-3

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