DFT的对称性与DCO-OFDMACO-OFDM

Posted 2022-12-06 爱吃猫咪的花酱

目录

• DFT与IDFT的表达式
• • DFT
  • IDFT
• DFT的对称性
• DCO-OFDM
• ACO-OFDM

DFT与IDFT的表达式

DFT

$$X(k)=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j\frac{2\pi }{N}kn}$$

IDFT

$$x(n)=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}X(k)e^{j\frac{2\pi }{N}kn}$$

DFT的对称性

1. $x(n)是实数⟺X(k)共轭对称$
   $$X(k)共轭对称⟺X(n)=X(N-n{)}^{\ast }0\le n\le \lfloor N/2\rfloor$$

   $X(0)$为实数即可，$X(0)=X(N{)}^{\ast }$

   $N$为偶数时，$X(N/2)$为实数即可

   去掉$X(0)$，其他关于$N/2$共轭对称

2. $x(n)是虚数⟺X(k)反共轭对称$
   $$X(k)共轭对称⟺X(n)=-X(N-n{)}^{\ast }0\le n\le \lfloor N/2\rfloor$$

   $X(0)$为虚数即可，$X(0)=-X(N{)}^{\ast }$

   $N$为偶数时，$X(N/2)$为虚数即可

   去掉$X(0)$，其他关于$N/2$反共轭对称

3. $k$为奇数时$X(k)$非零，此时有
   $$x(n)=-x(n+N/2)0\le n<N/2$$

   $N$必须是偶数

4. $k$为偶数时$X(k)$非零，此时有
   $$x(n)=x(n+N/2)0\le n<N/2$$

   $N$必须是偶数

DCO-OFDM

全称为DC biased optical OFDM。对于采用IM/DD（intensity modulated/direct detection）的可见光通信系统，生成的OFDM符号必须是非负实数。通过让频域符号$X(k)$满足共轭对称性质，即可保证时域的OFDM符号是实数，进一步加上合适大小的直流偏置来保证非负。（加偏置后依然小于零的部分直接clip掉）

缺点：

• large DC bias is usually needed, therefore less power efficient
• clipping noise (affect all sub-carriers)

ACO-OFDM

全称为Asymmetrically clipped optical OFDM。再使$X(k)$满足共轭对称的前提下，仅使用odd sub-carrier进行传输（频谱效率减小了一半），由上面的性质可知，时域OFDM符号不仅是实的，而且满足
$$x(n)=-x(n+N/2)0\le n<N/2$$
之后不加直流偏置DC，而是直接将信号从0处clip掉，由上式知该操作并不会丢失信息。

clipping造成的影响：

• （频域）odd sub-carrier上的值变为了原来的一半
• （频域）clipping noise只出现在even-carrier上，而由于检测时只从odd sub-carrier上提取信息，故clipping noise并不影响系统性能。