LeetCode_Partition Equal Subset Sum

Posted 2022-12-06 rotk2015

1. 416题，给定某无序数组，判断其是否能被分成总和相等的两个子集。

2. 此问题可转换成：判断其是否能恰好凑出原数组总和的一半，即 0/1 背包问题。那么可以由此引出两个优化点：若想能凑出，则原数组总和必为偶数，且数组内最大元素不能大于原数组总和一半。

3. 此外便是常规的二维数组压缩至一维的dp套路：

   class Solution 
       public boolean canPartition(int[] nums) 
           int sum = 0;
           int max = 0;
           for(int num : nums)
               sum += num;
               max = Math.max(max, num);
           
           if((sum&1) == 1)
               return false;
           sum = sum >>> 1;
           if(max > sum)
               return false;
           // if sum become negative, we can correct it;
           // now it's subset sum problem; 
           boolean[] dp = new boolean[sum+1];
           dp[0] = true;
           for(int num : nums)
               for(int i=sum; i>=num; i--)
                   dp[i] = dp[i] || dp[i-num];
               
               if(dp[sum])
                   return true;
           
           return dp[sum];
       
   
   

4. 上述代码运行13ms，注意到，转移条件里，dp[i] 的改变是一次性的（必为false->true），且仅依赖于dp[i-num]。故可优化一下：

   for(int num : nums)
   	for(int i=sum; i>=num; i--)
   	    if(dp[i-num])
   	        dp[i] = true;
   	
   	if(dp[sum])
   	    return true;
   
   

5. 优化后运行7ms，位于92.95%。此外，从这里可以看出，这里小循环的本质是将已经变为true的状态进行传播，由此可引出另一种基于位运算（移位或）的做法，不过，考虑到数据类型的长度，有一定局限性。然而，本题100%的1ms解法是记忆化dfs：

   class Solution 
       public boolean canPartition(int[] nums) 
           int sum = 0;
           int max = 0;
           for(int num : nums)
               sum += num;
               max = Math.max(max, num);
           
           if((sum&1) == 1)
               return false;
           sum = sum >>> 1;
           if(max > sum)
               return false;
           visited = new boolean[sum+1];
           // if sum become negative, we can correct it;
           // now it's subset sum problem; 
           return dfs(nums, sum, 0, 0);
       
       boolean[] visited;
       private boolean dfs(int[] nums, int sum, int curSum, int i)
           if(i >= nums.length)
               return false;
           if(curSum + nums[i] == sum)
               return true;
           if(curSum + nums[i] < sum)
               if(!visited[curSum + nums[i]])
                   visited[curSum + nums[i]] = true;
                   return dfs(nums, sum, curSum+nums[i], i+1) ||dfs(nums, sum, curSum, i+1);
               
           
           return dfs(nums, sum, curSum, i+1);
       
   
   

6. 记忆化搜索约等于动态规划。只是本题中，每当dp的大循环更新一次，引入新的元素，都要遍历一次小循环，更新所有状态。而对于dfs，引入新的元素后，其对后续选择的影响是可以直接通过curSum反映出来的，并不需要遍历。此外，本题的测试样例都按照降序排列，这又有助于dfs搜索。

参考资料

1. leetcode本题下优质评论1。
2. leetcode本题下优质评论2。