《数值分析》-- 雅可比迭代法高斯—塞德尔迭代法

Posted 2022-12-05 胜天半月子

文章目录

• 一、基本迭代法的格式及收敛性
• • 1.1 迭代法思想
  • 1.2 向量序列收敛的定义
• 二、迭代法的收敛与发散
• 三、雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法
• • 3.1 雅可比迭代法
  • 3.2 高斯――赛得尔(Gauss-Seidel)迭代法
• 四、迭代法的收敛性
• • 4.1 严格对角占优矩阵与对角占优矩阵
  • 4.2 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性

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一、基本迭代法的格式及收敛性

1.1 迭代法思想

• 基本迭代法的迭代格式
  
• 例题
  
  
• 结论
  
  

1.2 向量序列收敛的定义

• 例题
  
• 结论
  

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二、迭代法的收敛与发散

• 引例
  
  
  

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三、雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法

3.1 雅可比迭代法

以下原理性东西了解即可，通过例题明白如何计算怎么计算就可以

• 原理
  
  
  $第i个方程除以a_{ii}(i=1,2,\dots ,n),得:$
  
  
  Jacobi迭代的分量形式
  
  
  即得到计算公式(雅可比迭代法) ：对$k=0,1,\dots$
  
• 例题
  
  
  
  Jacobi迭代用9次迭代，基本得到该题的精确解。
• 雅可比迭代法的收敛性
  
  下面给出一种更方便的形式：
  
• 雅可比迭代的矩阵表示
  

3.2 高斯――赛得尔(Gauss-Seidel)迭代法

• 原理
  
• 对比⭐
  
  
• 高斯—塞德尔迭代公式:
  
• 高斯—塞德尔迭代的矩阵表示
  
  
• 例题
  
  雅可比:
  
  高斯—塞德尔迭代法得如下迭代公式:
  
• 结论
  

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四、迭代法的收敛性

4.1 严格对角占优矩阵与对角占优矩阵

• 概念
  
• 谱半径
  

4.2 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性

• 定理1
  
  
• 例题

1. 
2. 

• 定理2
  
  正定矩阵：对于具体的实对称矩阵，常用矩阵的各阶顺序主子式是否大于零来判断其正定性；（求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；）

• 例题
  
  

• 定理3
  

• 定理4
  

• 例题
  

• 结论
  

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