坐标系变换

Posted 2022-12-05 unclerunning

坐标系变换

• 坐标系变换
  • 不考虑平移
  • 加入平移
    • 齐次坐标系与平移
  • 追溯过程
  • 矩阵变换坐标系变换 or 位置变换
  • 总结

Think an invertible matrix as a coordinate.

坐标系变换，例如，现在有一个点P，在A坐标系中的坐标为$(x,y)$，如何求出点P在其他坐标系下的坐标呢？比如，我们想知道P点在B坐标系中的坐标？

做个类比，如果两个讲不同母语的人想要交流，怎么办？这时，如果有一种世界通用语言就好了，例如汉语。这样，当说英语的人向说法语的人问候“你好”的时候，他知道要查字典先把英文 “hello”转换成中文“你好”，然后，说法语的人就可以将“你好”转换成法文“Bonjour”。

这里有两个过程：

• hello $\\rightarrow$ 你好
• 你好$\\rightarrow$ Bonjour

这两个过程中有一个关键点：

你好 —汉语

是的，世界通用语言，我们的汉语，就是key point， 她在不同语系中充当了桥梁的角色。

回到坐标系的话题，使用不同的坐标系就像使用不同的语言，各说各话，相互之间是无法被理解的。如果想要被理解，那就的使用大家都认同的方式交流。这时候，如果引入一个参考坐标系，世界就和平了：

我们可以将P点的坐标先转化为一个参考坐标，然后再从参考坐标转换到B坐标系中的坐标。

• A $\\rightarrow$ Global
• Global $\\rightarrow$ B

现在，我们的问题变成了求某个坐标系X与参考坐标系Global之间的转换方法：

X $\\leftrightarrow$ Global

不考虑平移

如果考虑不同的坐标系共原点，就像下面这样：

选择坐标系A作为参考坐标系，如何表述：

B $\\leftrightarrow$ A

答案是：矩阵变换

矩阵变换就像词典翻译一样，将一个坐标系下的点转换成另一个坐标系中的点。

矩阵与线性变换中提到了在同一个坐标系中矩阵变换的作用，例如，将一个向量进行旋转。现在，矩阵变换被不可思议的用作了坐标系变换的工具。变换还是同样的变换，只是站在了不用的角度看待问题：

• 矩阵变换之于同一个坐标系，可以理解为坐标系不变，点的位置改变。
• 矩阵变换之于不同坐标系，可以理解为点的绝对位置不变，坐标系改变。

其实在矩阵与线性变换拓展一节中，我提到了一种转换关系，这里，我给出上图的对应表述：

(1) $\\beginbmatrixx\'\\\\y\'\\endbmatrix$ = $B\\beginbmatrixx\\\\y\\endbmatrix$ $\\Rightarrow$ $\\beginbmatrixx\\\\y\\endbmatrix$ = $B^-1\\beginbmatrixx\'\\\\y\'\\endbmatrix$ ，$B$=$\\beginbmatrix\\vecb_1&\\vecb_2\\endbmatrix$， 且$\\vecb_1 ，\\vecb_2$ 是坐标系B的基向量

其中，矩阵$B$的各个列向量分别对应B坐标系的各个基向量，$\\beginbmatrixx\\\\y\\endbmatrix$是向量$\\vecOP$或者说点P在B坐标系的表示， $\\beginbmatrixx\'\\\\y\'\\endbmatrix$则是向量$\\vecOP$或者点P在A坐标系中的表示。求出矩阵$B$，我们就有了翻译用的字典。

这一切，在于矩阵$B$的各个列向量，在于B坐标系的基向量。

上图对应的矩阵B的两个列向量分别为$\\vecb_1$=$\\beginbmatrix2\\sqrt5/5\\\\ \\sqrt5/5\\endbmatrix$， $\\vecb_2$=$\\beginbmatrix-\\sqrt5/5\\\\ 2\\sqrt5/5\\endbmatrix$。