spark.mllib源码阅读-分类算法1-LogisticRegression

Posted 2022-12-03 大愚若智_

LogisticRegression解释：

传统的线性回归模型z(x)=wx+b，其输出为负无穷至正无穷的区间，如果输出值为一个事件发生的概率，那么就要求输出区间为[0,1]，传统的一些线性回归模型就不能work了，一个很简单的想法就是在z(x)线性输出的基础上增加一个从0到1光滑的单调递增的函数。同时对于很多事件来说，在事件确定发生的概率区间内 条件的微弱变化几乎不影响事件的发生,而在事件发生与不发生的交界区间 条件的微弱变化对事件发生的概率产生了极大的影响。因此，我们就需要一个函数g(z)，其在z的两个相当大的区间内其输出几乎不随z的变化而变化，而在一个小区间内变化又很大，同时整体的变化的平滑的。sigmod函数即很好的符合上述的要求：

sigmoid函数

这样，输入到概率输出的映射用函数表示为

称之为Logistic函数。

事件发生和不发生的概率表示为：

上式可简化为：

通常使用极大似然来进行Logistic回归的参数估计，在m个样本的训练集上，其似然函数为：

对数似然函数为：

要最大化对数似然函数，可以参照梯度下降法的方法，对对数似然函数求各个参数的偏导数：

由于是求极大值的最优化问题，参数更新的方向是沿着梯度的正方向：，参数更新的规则为：

以上LogisticRegression函数由来是个人从形象上推测的。LogisticRegression函数严格的数学推导和后面的参数求解过程，可以参阅斯坦福大学的课件。

LogisticRegression回归实现：

讲完了理论，下面来看看Spark具体的LogisticRegression的实现。LogisticRegression的Spark实现包括LogisticRegression模型的定义和参数的求解两部分。

LogisticRegressionModel

Logistic回归分类模型实现的分类器，包括２分类和多分类问题．Logistic回归分类模型仍然是一个广义的线性回归问题，因此使用了LogisticRegressionModel作为它的基类。

在二分类问题上，Logistic回归输出值是一个0-1区间的实数值，通过与阀值threshold比较来判断其类别。在多分类问题上，Logistic回归输出值是一个0-1区间的实数值序列，通过选取最大的输出值，来选取最优的分类类别。

override protected def predictPoint(
    dataMatrix: Vector,
    weightMatrix: Vector,
    intercept: Double) = 
  require(dataMatrix.size == numFeatures)
  // If dataMatrix and weightMatrix have the same dimension, it's binary logistic regression.
  if (numClasses == 2) 
    val margin = dot(weightMatrix, dataMatrix) + intercept
    val score = 1.0 / (1.0 + math.exp(-margin))
    threshold match 
      case Some(t) => if (score > t) 1.0 else 0.0
      case None => score
    
   else 
    //多分类问题，weightsArray存储的是每个分类器的权重和偏置
    //最后取输出概率P最大的类别，这里并没有显式求出P值，而是计算并比较的g(x)值
    var bestClass = 0
    var maxMargin = 0.0
    val withBias = dataMatrix.size + 1 == dataWithBiasSize
    (0 until numClasses - 1).foreach  i =>
      var margin = 0.0
      dataMatrix.foreachActive  (index, value) =>
        if (value != 0.0) margin += value * weightsArray((i * dataWithBiasSize) + index)
      
      if (withBias) 
        margin += weightsArray((i * dataWithBiasSize) + dataMatrix.size)
      
      if (margin > maxMargin) 
        maxMargin = margin
        bestClass = i + 1
      
    
    bestClass.toDouble
  

LogisticRegression参数求解

Spark对LogisticRegression实现了两类优化求解算法，LogisticRegressionWithSGD和LogisticRegressionWithLBFGS。两类算法都使用的Logistic损失函数LogisticGradient 和L2正则化SquaredL2Updater。LogisticRegressionWithSGD和spark.mllib源码阅读-回归算法1-LinearRegression中介绍的回归方法训练模型思路一直，均是调用父类GeneralizedLinearAlgorithm的run方法来实现模型训练。

LogisticRegressionWithLBFGS类优化求解器采用的LBFGS(在spark.mllib源码阅读-优化算法3-Optimizer进行了相关的介绍)，同时覆写了父类GeneralizedLinearAlgorithm的run方法。

if (numOfLinearPredictor == 1) 
  def runWithMlLogisticRegression(elasticNetParam: Double) = 
    // Prepare the ml LogisticRegression based on our settings
    //调用了另外一个ML包的LogisticRegression实现，该实现只能处理二分类问题
    val lr = new org.apache.spark.ml.classification.LogisticRegression()
    lr.setRegParam(optimizer.getRegParam())
    lr.setElasticNetParam(elasticNetParam)
    lr.setStandardization(useFeatureScaling)
    if (userSuppliedWeights) 
      val uid = Identifiable.randomUID("logreg-static")
      lr.setInitialModel(new org.apache.spark.ml.classification.LogisticRegressionModel(uid,
        new DenseMatrix(1, initialWeights.size, initialWeights.toArray),
        Vectors.dense(1.0).asML, 2, false))
    
    lr.setFitIntercept(addIntercept)
    lr.setMaxIter(optimizer.getNumIterations())
    lr.setTol(optimizer.getConvergenceTol())
    // Convert our input into a DataFrame
    val spark = SparkSession.builder().sparkContext(input.context).getOrCreate()
    val df = spark.createDataFrame(input.map(_.asML))
    // Determine if we should cache the DF
    val handlePersistence = input.getStorageLevel == StorageLevel.NONE
    // Train our model
    val mlLogisticRegressionModel = lr.train(df, handlePersistence)
    // convert the model
    val weights = Vectors.dense(mlLogisticRegressionModel.coefficients.toArray)
    createModel(weights, mlLogisticRegressionModel.intercept)
  
  optimizer.getUpdater() match 
    case x: SquaredL2Updater => runWithMlLogisticRegression(0.0)
    case x: L1Updater => runWithMlLogisticRegression(1.0)
    case _ => super.run(input, initialWeights)
  
 else 
  //这里调用了父类GeneralizedLinearAlgorithm的run进行模型训练
  super.run(input, initialWeights)

二分类问题调用的是org.apache.spark.ml.classification.LogisticRegression()，这个是在Spark1.2后期版本加入的Logistic回归模型。

这里就有个疑问了，ml包下的Logistic回归模型和mllib下的Logistic回归模型有什么不同。

粗略看了二者的源码，在二分类问题上，不同点主要是ml.LogisticRegression加入了elastic net这样一个L1正则化和L2正则化这样一个调制因子。在多分类问题上，ml.LogisticRegression主要采用的是softmax函数来进行预测分类，K个类别的概率总和等于1。mllib.LogisticRegression使用的是OneVsAll就是把当前某一类看成一类，其他所有类别看作一类，这样有成了二分类的问题了，假如有k个类别，选取lable=0作为“pivot”类，则构建k-1个分类器：

     classifier1:lable=0 VS lable=1

     classifier2:lable=0 VS lable=2

    classifierk-1:lable=0 VS lable=k-1

最后输出K-1个分类器中输出概率最大的那个类。并且这个概率是与Lable0事件相比的发生概率。OneVsAll假设了classifieri中lable=0与lable=i之间存在了关联性。

这就需要选取一个合适的“pivot”类了。

由于Logistic回归用于预测事件发生与否，如预测一个点击行为：不点击、点击A、点击B、点击C等，用户可能发生点击A，也可能发生点击A和B,重点是要找到最有可能发生的点击行为。那么可以使用lable="不点击"作为“pivot”类。

而如果选取lable="点击A"作为“pivot”类，就会出现问题了。

回过头来看ml.LogisticRegression，其是找到K个类别中输出概率最大的类，并且各类别的输出概率之和为1，同时，各类别发生与否是相互独立的。