2020小米网络赛第二场 F-Modulo Nine

Posted 2022-12-02 ZLTJohn

题意

F-Modulo Nine
给定m个区间[li,ri]，问带前导零的n位数，有多少个数满足：$$\forall i,\prod _{k=l_i}^{r_i}{a}_k\%9==0$$
其中a[k]表示这个数的第k位，n,m<=1000.

分析

思维方向有很多，比较靠谱的是逐位填数dp。
一个区间要合法，只需要有2个3的因子即可，一个0、9算两个3的因子，3、6算一个。我们先不考虑填0、9，考虑只填3、6。那么一个位置的状态只有两种，3的因子或者非3的因子。
我们只用记录最后两个3的因子填在哪里。因为假如一个区间有超过两个因子，前面的可以忽略掉。
设f[i][j]表示最后两个因子出现在i,j上(i<j)，其中右端点在j之前的区间已经全部合法，的方案数。
这样的记录的好处是，当f[j][k]要从f[i][j]转移过来的时候，我们知道右端点在j之前的区间已经全部合法了，而j~k-1的区间还未判断，而且他们要合法的最后机会就是i足够大，使得区间包含i，而j一定包含。
那么$$f[j][k]=\sum _{i}f[i][j]\ast 6^{k-j-1}\ast 2\ast [右端点在j至k-1的区间的左端点都小于等于i]$$
系数中，6的幂指j+1~k-1的位置可以填非3因子的数，2指的是k可以填3、6。
注意到限制条件中，左端点都<=i，就是最大值<=i。那么对于每个右端点相同的区间，我们保留左端点最大的那个即可，记Le[x]表示右段点在x的最大的左端点下标。
现在的还有0\\9没有考虑。事实上，当我们得到了f[j][k]，我们可以直接用相同的方法转移到f[k][k]，只是系数变成了1，因为之前填3\\6时，这个位置算了两种方案，0\\9刚好也是两个。
初始状态就是f[0][0]=1,最后的答案可以用所有f[j][k]中符合要求的状态求得。
这样暴力转移是O(n^3)的，注意到转移中合法的i一定是连续的，拿个前缀和优化一下转移就行了。

代码

#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<map>
using namespace std;
#define fo(i,j,k) for(i=j;i<=k;i++)
#define fd(i,j,k) for(i=j;i>=k;i--)
#define cmax(a,b) (a=(a>b)?a:b)
#define cmin(a,b) (a=(a<b)?a:b)
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef double db;
const int N=1e3+5,mo=1e9+7,M=1e7+5;
ll f[N][N],six[N],coef,ans,g[N][N];
int Le[N],Lmx,n,m,l,r,i,j,k;
ll get(int l,int r,int j)

	if (!l) return g[r][j];
	else return g[r][j]-g[l-1][j];

int main()

	freopen("F.in","r",stdin);
	//freopen("I.out","w",stdout);
	n=1e3;
	six[0]=1;
	fo(i,1,n) six[i]=six[i-1]*6ll%mo;
	while (scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF)
	
		ans=0;
		fo(i,1,n) Le[i]=0;
		fo(i,0,n) fo(j,0,n) g[i][j]=f[i][j]=0;
		fo(i,1,m) 
		
			scanf("%d %d",&l,&r);
			Le[r]=max(Le[r],l);
		
		f[0][0]=1;
		g[0][0]=1;
		fo(k,1,n)
		
			Lmx=0;
			fd(j,k-1,0)
			
				// f[j][k]: f[Lmx[j~k-1]~j][j]
				Lmx=max(Lmx,Le[j]);
				if (Lmx>j) break;
				f[j][k]=get(Lmx,j,j)*six[k-j-1]*2%mo;
			
			g[0][k]=f[0][k];
			fo(j,1,k-1) g[j][k]=(g[j-1][k]+f[j][k])%mo;
			f[k][k]=g[k-1][k];
			g[k][k]=(g[k-1][k]+f[k][k])%mo;
		
		Lmx=0;
		fo(i,1,n) Lmx=max(Lmx,Le[i]);
		fo(i,0,n)
			if (Lmx<=i)
				fo(j,i,n)
				
					ans=(ans+f[i][j]*six[n-j])%mo;
				
		printf("%lld\\n",(ans+mo)%mo);