递归算法深入浅出三：递归求Fibonacci斐波那契数列

Posted 2022-12-01 老猫烧须

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斐波那契数列

　　斐波纳契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……
　　这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

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递归求斐波那契(Fibonacci)数列

在这里我将根据递归两大特点（法则）和斐波那契数列的逻辑来设计对应的递归程序

1.递归程序的定义

　　首先，设计一个fibo(int n)方法，返回值为：数列中第n个数的值

【注：斐波那契数第一个数值为1，第二个数值也是1，从第三个开始，每个数值为前两个数的和】

　　当求【n=5】时，实际上是求当【n=3】和【n=4】时的和；
　　那么求【n=3】就是求【n=1】和【n=2】时的和…..
　　以此类推….
　　当【n=1】或【n=2】时，程序直接返回1。

可得出公式：

f(n) = f(n-1) + f(n-2)

不难得出基本的递归调用代码：

public static int fibo(int n) 
    return fibo(n - 1) + fibo(n - 2);

　　细心的人会发现这段代码是会得到递归死循环的，因为缺少了递归终止条件（跳出条件）
　　

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2.递归程序的终止条件

1. 当【n=1】或【n=2】时，程序直接返回1。

if( n== 1 || n ==2)
    return 1;

2. 当然，也可以设计程序当【n=0】时返回0以及【n=1】时返回1；

if (n == 0) 
    return 0;
 else if (n == 1) 
    return 1;

　　因为【n=2】是由【n=1】和【n=0】的和得到，也是1。

可以得出最终的代码：

public static int fibo(int n) 
    if (n == 0) 
        return 0;
     else if (n == 1) 
        return 1;
     else
        return fibo(n - 1) + fibo(n - 2);
    

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3. 注意跳出的边界所在

　　上面代码片中，第一个代码片就限制了n必须大于0，也就是n不能等于0，否则会出现“递归死循环”引发“StackOverflow”异常。

　　在这里就可以引出“跳出递归调用边界”这种说法，也就是终止递归调用条件的值的设定！这个值的设定是需要根据现实计算情况和要求的计算逻辑实现的。
　　　
例如：
在斐波那契数列中，设计终止递归循环的边界是可以随意的，只要符合斐波那契数列的计算逻辑：
　　1. 终止条件中的n的最小值要大于等于0，小于0没有任何意义，并且不符合斐波那契规则，造成不可估量错误。
　　2. 要包含当n为基数以及偶数两种情况下n的返回值，主要是因为递归调用时有f(n-1)和f(n-2)，那么就一定有奇偶数两种情况。

例子1：可以设计为在n=6时返回8，在n=7时返回13。

public static int fibo(int n) 
    if (n == 6) 
        return 8;
     else if (n == 7) 
        return 13;
     else
        return fibo(n - 1) + fibo(n - 2);
    

例子2：可以设计为在n=6时返回8，在n=5时返回5。

public static int fibo(int n) 
    if (n == 6) 
        return 8;
     else if (n == 5) 
        return 5;
     else
        return fibo(n - 1) + fibo(n - 2);
    

　　两个例子基本相同，就是在调用的时候有不同：
调用时传入参数n的最小值不能小于终止判断条件的最小判断值：
　　例子1.规定了n必须大于6
　　例子2.规定了n必须大于5

　　至于怎么选择，就在于使用者在实际中的需求来调整！

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