118. （Pascal‘s Triangle）杨辉三角

Posted 2022-11-30 OIqng

题目

Given an integer numRows, return the first numRows of Pascal’s triangle.

In Pascal’s triangle, each number is the sum of the two numbers directly above it as shown:

给定一个非负整数 numRows，生成「杨辉三角」的前 numRows 行。

在「杨辉三角」中，每个数是它左上方和右上方的数的和。

Example 1:

Input: numRows = 5
Output: [[1],[1,1],[1,2,1],[1,3,3,1],[1,4,6,4,1]]

示例 1:

输入: numRows = 5
输出: [[1],[1,1],[1,2,1],[1,3,3,1],[1,4,6,4,1]]

Example 2:

Input: numRows = 1
Output: [[1]]

示例 2:

输入: numRows = 1
输出: [[1]]

Constraints:

1 <= numRows <= 30

提示:

1 <= numRows <= 30

解题思路

杨辉三角具有以下性质：

• 每行数字左右对称，由 1 开始逐渐变大再变小，并最终回到 1。
• 第 n 行（从 0 开始编号）的数字有 n+1 项，前 n 行共有$\frac{n(n+1)}{2}$个数。
• 第 n 行的第 m 个数（从 0 开始编号）可表示为可以被表示为组合数$C(n,m)$，记作 $C_n^m$ 或 $({}_n^m)$，即为从 n个不同元素中取 m 个元素的组合数。我们可以用公式来表示它：$C_n^m=\frac{n!}{m!\times (n-m)!}$
• 每个数字等于上一行的左右两个数字之和，可用此性质写出整个杨辉三角。即第 n 行的第 i 个数等于第 n-1 行的第 i-1个数和第 i 个数之和。这也是组合数的性质之一，即$C_n^i=C_{n-1}^i+C_{n-1}^{i-1}$的展开式（二项式展开）中的各项系数依次对应杨辉三角的第 n 行中的每一项。

根据性质 4，当我们计算出第 i 行的值，我们就可以在线性时间复杂度内计算出第 i+1 行的值。

Python代码

class Solution:
    def generate(self, numRows: int) -> List[List[int]]:
        res = list()
        for i in range(numRows):
            row = list()
            for j in range(0, i + 1):
                if j == 0 or j == i:
                    row.append(1)
                else:
                    row.append(res[i - 1][j] + res[i - 1][j - 1])
            res.append(row)
        return res

Java代码

class Solution 
    public List<List<Integer>> generate(int numRows) 
        List<List<Integer>> res = new ArrayList<List<Integer>>();
        for (int i = 0; i < numRows; ++i) 
            List<Integer> row = new ArrayList<Integer>();
            for (int j = 0; j <= i; ++j) 
                if (j == 0 || j == i) 
                    row.add(1);
                 else 
                    row.add(res.get(i - 1).get(j - 1) + res.get(i - 1).get(j));
                
            
            res.add(row);
        
        return res;
    

C++代码

class Solution 
public:
    vector<vector<int>> generate(int numRows) 
        vector<vector<int>> res(numRows);
        for(int i = 0; i < numRows; ++i) 
            res[i].resize(i + 1); 
            res[i][0] = res[i][i] = 1; // 首尾都为1
            for(int j = 1; j < i; ++j) 
                res[i][j] = res[i - 1][j] + res[i - 1][j - 1]; // 每个数字等于左右两个数字之和
            
        
        return res;
    
;