光学系统中的像差

Posted 2022-11-28 Matrix_11

费马原理

• 费马原理

A more modern statement of the principle is that rays of light traverse the path of stationary optical length with respect to variations of the path

光线在介质中传播的时候，在所有可能的传播路径中，会选择光程最稳定的那条。

• 均匀介质中光沿直线传播

对于一个光学系统来说，最简单的情况，就是一个点光源通过光学系统，最终会汇聚成一个像点，一个点光源发出的光线有很多条，再经过光学系统之后，汇聚成一点，意味着光线通过不同的路径最终汇聚到一点，意味着这些光线都满足一个前提条件：同时出发，同时到达。也就是光线沿着不同的路径走，所需要的时间都是一样的，这就是等光程。

一个点光源发出的光，在空间中传播一定的距离，会到达一个球面，这个球面称为等光程面，从波的角度来看，就是wave-front 波前，反过来，从成像点的角度来看，距离成像点等光程的的也是一个球面，一个理想的光学系统，可以看成把一个球面波前变换成另一个球面波前。

从几何光学的角度来看，光线在光学系统中都是按直线传播的，但是光本身具有波粒二象性，光除了粒子性之外，还有波动性，而光的波动性，会造成光线在通过光学系统的时候，产生衍射效应。

衍射效应，导致光线通过光学系统的时候，会有一个光程差，这个光程差将引入额外的相位差，这个相位差会导致不同路径的光线到达汇聚点的时候，相位是相反的，产生抵消作用，也有可能相位是相同的，产生加强作用，所以光线汇聚的时候，中心区域是最亮的，而从中心区域往外，会出现明暗相间的图形，这个就是光的衍射造成的，对应的是夫琅禾费衍射。如果是圆形光孔，形成的明暗相间的图形称为艾里斑

由于光的衍射，一个点光源经过成像系统，不会是一个点，而是一个具有一定弥散的光斑，所以理想光学系统的分辨能力也不是无限高的，而是受限于光的衍射，理想光学系统对平行光的角分辨率为：

$$\Delta \theta =\frac{1.22\lambda }{D}$$

其中，$\lambda$ 是光的波长，$D$ 是通光孔径，当光的波长越小，或者通光孔径越大，光学系统的分辨能力就越好。

近轴光学

光线在均匀介质中，是按直线传播，当遇到不同介质的时候，光线会发生偏折，可以用折射定律描述这种偏折行为：

$$n_1\sin ({\theta }_1)=n_2\sin ({\theta }_2)$$

当光线处于小角度的时候，$sin\theta \approx \theta$，这样，折射定律就可以表示成：

$$n_1{\theta }_1=n_2{\theta }_2$$

通过这种近似，在模拟光线传播的时候，可以表示成一系列的线性变化。这种线性系统表示的光学系统，是高斯建立的，也称为高斯光学。

赛德尔光学

但是实际的光学系统，不是简单的线性变化，而且也不是所有的光线都只会在近轴处传播，所以为了建模更实际的光学系统，需要引入非线性系统，这项工作就是由塞德尔创立的，将上面的折射定律进行泰勒展开：

$$\sin \theta \approx \theta -\frac{1}{3!}{\theta }^3$$
$$\cos \theta \approx 1-\frac{1}{2!}{\theta }^2$$

随着阶数的增加，拟合的精度会越来越高，但是计算也会变得越来越复杂。

赛德尔总结出了 5 大单色像差：球差、彗差、像散、场曲、畸变，加上一个和颜色有关的色差，一共有六种常见的像差。

参考文献：

光学系统像差杂谈： https://zhuanlan.zhihu.com/p/26255805