[LeetCode] Max Sum of Rectangle No Larger Than K

Posted 2022-11-28 自在时刻

题目

Given a non-empty 2D matrix matrix and an integer k, find the max sum of a rectangle in the matrix such that its sum is no larger than k.
Example:
Given matrix = [
[1, 0, 1],
[0, -2, 3]
]
k = 2
The answer is 2. Because the sum of rectangle [[0, 1], [-2, 3]] is 2 and 2 is the max number no larger than k (k = 2).

这道题目其实是两个子问题的结合，解决了这两个子问题可以很容易的解决此题。

问题1:Max Sum of Rectangle In 2D Array.

也就是在一个二维数组中，寻找一个最大直方和。暴力解法就是取矩形对角两点的元素，进行遍历求和，复杂度是O(MNMN).
暴力循环可以通过动态规划进行优化，用一个数组存储当前矩形的累计和。如下图：

绿色数组记录了蓝色区域的和，通过数组记录下之前的值避免了重复计算。在绿色数组中，寻找不大于k的最大和连续子数组，相当于在确定了蓝色矩形左右边界的情况下，通过修改上下边界寻找最大和矩形。同样，全遍历二维数组每一列：

。。。

全遍历后，则找出了全部矩形。

问题2:寻找不大于k的最大连续子数组和

如果不包含不大于k的限制，那么就是一个普通的dp问题。类似于leetcode上这道题目： stock问题。
对于不大k的，则是构建一个二插查找树BST，java中对应可以使用TreeMap。对于一个数组，子数组(i,j]的和可以通过sum[0,j] - sum[0,i]来求出。在遍历这个子数组的时候计算出当前的累加和 rightSum并加入到BST中，记leftSum为之前存储在BST中的数，因为要求 rightSum - leftSum <=k，则有leftSum >= rightSum - k，同时leftSum越小，求和值rightSum-leftSum越大。所以去BST中找大于等于 rightSum-k的最小数leftSum，并更新全局最优，即得结果。

最终代码如下：

public class Solution 
    public int maxSumSubmatrix(int[][] matrix, int k) 
        int row = matrix.length;
        int col = matrix[0].length;
        int res = Integer.MIN_VALUE;
        //子问题1，三个for循环全遍历。
        for (int i = 0;i < col;i++) 
            int[] arr = new int[row];
            for (int j = i;j < col;j++) 
                int rightSum = 0;
                TreeSet<Integer> sums = new TreeSet<>();
                sums.add(0);
                for (int l = 0; l < row;l++) 
                    arr[l] += matrix[l][j];
                    //子问题二，寻找leftSum。计算最大和连续子数组
                    rightSum += arr[l];
                    Integer leftSum = sums.ceiling(rightSum - k);
                    if (leftSum!=null) res = Math.max(res, rightSum - leftSum);
                    sums.add(rightSum);
                
            
        
        return res;