六种语言求解特征值和特征向量（2022.4.29）
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特征值和特征向量求解（2022.4.29）
引言
在使用层次分析法（AHP）来确定指标权重时，需要计算二维矩阵的特征值和特征向量，同时特征值和特征向量在计算机图像处理、物理学等领域都要十分重要的应用，下面首先简单介绍其定义和性质，之后利用六种编程语言进行实例求解。
1、矩阵的特征值和特征向量
A
=
[
a
11
a
12
.
.
.
a
1
n
a
21
a
22
.
.
.
a
2
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n
1
a
n
2
.
.
.
a
n
n
]
A=\\left [ \\beginmatrix &a_11 &a_12 &... &a_1n\\\\ &a_21 &a_22 &... &a_2n\\\\ &... &... &... &...\\\\ &a_n1 &a_n2 &... &a_nn\\\\ \\endmatrix \\right ]
A=⎣⎢⎢⎡a11a21...an1a12a22...an2............a1na2n...ann⎦⎥⎥⎤ 对于n阶方阵A，若存在数λ和一个n维的非零列向量
x
⃗
\\vecx
x，满足
A
x
⃗
=
λ
x
⃗
A\\vecx=\\lambda \\vecx
Ax=λx，则称
x
⃗
\\vecx
x为矩阵A的对应λ特征值的特征向量，E为单位矩阵（主对角线元素均为1，其余为0）。
一方面，
(
λ
E
−
A
)
x
⃗
=
0
(\\lambda E -A) \\vecx=0
(λE−A)x=0是包含n个未知数n个方程的齐次线性方程组，相当于存在不全为0的n个数使得矩阵
(
λ
E
−
A
)
(\\lambda E -A)
(λE−A)的列向量线性相关，那么矩阵
(
λ
E
−
A
)
(\\lambda E -A)
(λE−A)非满秩，即
r
a
n
k
(
λ
E
−
A
)
<
n
rank(\\lambda E -A)<n
rank(λE−A)<n 另一方面，线性代数中齐次线性方程组存在非零解的充要条件是：系数矩阵行列式的值为零。因此得到下面的系数行列式：
∣
λ
E
−
A
∣
=
0
|\\lambda E -A|=0
∣λE−A∣=0
∣
λ
E
−
A
∣
=
[
λ
−
a
11
−
a
12
.
.
.
−
a
1
n
−
a
21
λ
−
a
22
.
.
.
−
a
2
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
−
a
n
1
−
a
n
2
.
.
.
λ
−
a
n
n
]
=
λ
n
+
α
1
λ
n
−
1
+
α
2
λ
n
−
2
+
.
.
.
+
α
n
−
1
λ
+
α
n
=
0
|\\lambda E -A|=\\left [ \\beginmatrix &\\lambda -a_11 &-a_12 &... &-a_1n\\\\ &-a_21 &\\lambda -a_22 &... &-a_2n\\\\ &... &... &... &...\\\\ &-a_n1 &-a_n2 &... &\\lambda -a_nn\\\\ \\endmatrix \\right ]=\\lambda^n+\\alpha_1\\lambda^n-1+\\alpha_2\\lambda^n-2+...+\\alpha_n-1\\lambda+\\alpha_n=0
∣λE−A∣=⎣⎢⎢⎡λ−a11−a21...−an1−a12λ−a22...−an2............−a1n−a2n...λ−ann⎦⎥⎥⎤=λn+α1λn−1+α2λn−2+...+αn−1λ+αn=0 上式也称为方阵A的特征多项式，此多项式是一个关于参数λ的n次多项式。在复数域内（实数和虚数），n次代数方程有且仅有n个解。那么特征多项式的n个解可设为
λ
1
、
λ
2
、
⋯
、
λ
n
\\lambda_1、\\lambda_2、\\cdots、\\lambda_n
λ1、λ2、⋯、λn，这些解也称特征根，它们具有如下性质：
(
λ
−
λ
1
)
(
λ
−
λ
2
)
⋯
(
λ
−
λ
n
)
=
0
(\\lambda -\\lambda_1)(\\lambda -\\lambda_2)\\cdots (\\lambda -\\lambda_n)=0
(λ−numpy求解特征值和特征向量
python计算平面的法向-利用协方差矩阵求解特征值和特征向量