递归算法深入浅出五：深度搜索寻找图最短路径
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递归算法概述及常见算法列表，传送门：
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深度优先搜索
又称深度搜索、深搜。简单地说深搜就是一种**【不撞南墙不回头】** 的 暴力算法，基本上该算法常用递归作为设计基础，当然也有使用for循环嵌套的，本文是以递归为讲解方向的。
至于更深一层的理论在这里就不详细说明了，详细可以去搜索更多关于。
简单的图搜索问题
本文讲述的是一个基于无向图为基础的图搜索，用二位数组组成的图。
【关于图的更多的理论也麻烦大家去搜索相关的资料，今天写这个文章主要针对下面描述的问题，在这里不过多阐述】
问题描述
描述如下：
在一个n行m列组成的二位数组中，每个单元格代表空地或障碍物。
邻接的单元格距离单位为1，但不包括对角的单元格。
图中是属于无向图，移动的方向不受限制（不能出界）。
现在给定在图中任意的两个坐标（两个均坐标不属于障碍物），求出两个坐标之间到达的最短距离。
如图：
这是一个6行5列的图，其中 (1，2)、(3，2)、(3，3) 、(4，1)、(4，2) 为障碍物
求A点到B点的最短距离
问题分析
问题中可以知道这是一个由二维数组组成的图，每个单元格代表空地或者障碍物。
现在要从A点到达B点或者从B点到达A点，行走的方向可以是（上、下、左、右），同时要避开所有红色的障碍物（如上图）。首先要明白每走一步所到达的位置：
- 当在A点（0，0）时，下一步能到达的点为**（0，1）、（1，0）**
- 当在点**（0，1）时，下一步能到达的点为（0，0）、（1，1）、（1、2）**
- 当在点**（1，0）时，下一步能到达的点为（0，0）、（2，0）、（1、1）**
- 当在点**（1，1）时，由于（1，2）为障碍物**，因此下一步能到达的点为**（0，1）、（1，0）、（2，1）**
- 每一步都去尝试下一步可以到达的位置，直到到达终点B。
有个问题就来了，例如上面的，有的位置是已经被走过的，如果程序没有对走过的位置进行判断，那么可能永远都不能到达B点...
应该怎么做呢？定义一个结果集来记录当前访问过的点。
请慢慢往下看，别急！
递归程序设计思路
一、定义
1. 设定地图
我们可以用一个二维的 int 数组来表示该图，我们假设在数组中：- 值为 1 的是障碍物
- 值为 0 的是为空地
- 注意:使用二维int数组的原因是：如果需要，可以用数字表示不同类型的障碍物，本问题中可以用boolean数组表示空地或障碍物，但为了让大家更加清晰不和下面的 boolean[][] used 二维标记数组弄混，还是使用 int[][] map 来定义。
那么就可以得出下列二维数组：
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 1 1 0
0 1 1 0 0
0 0 0 0 0
2. 首先是定义需要用上的变量：
- int n,m：定义图的大小。
- int[][] map：需要搜寻的图（在这里用int[][]二维数组表示）
- boolean[][] used：大小和图一样，用于标记被访问过的点（访问过为true），保证每次走的都是没有被走过的点，这也是解决上面的重复访问同一个点的问题的方案
- int p,q：终点的Y轴、X轴坐标，由用户输入。
- int count：计算由起点到终点所有的可行路径。
- int minStep：记录最短路径所需要的步数，因为要考虑起点和终点为同一个点，因此设定初始值为 -1。
3.设定一个 dfsMap(...) 方法，该方法主要用于深度搜索图。
除了上面设定的变量，dfsMap(...) 需要管理的参数有：- int x：当前点所在的X轴坐标值
- int y：当前点所在的Y轴坐标值
- int step：当前点与开始点的距离
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二、代码编写的思路
当我们在一个点时，需要做的是要判断当前所在的点是否为终点，如果是终点，那么就对历史记录进行判断，代码如下：
if (y == p && x == q)
System.out.println("找到一条路径，距离为：" + step);
count++;
if (minStep == -1)
minStep = step;
if (step < minStep)
minStep = step;
如果不是终点，那么程序就要去寻找当前点的下一步；同时，我们需要用上boolean[][] used二维数组，大小和当前的地图一样，用于标记当前地图中哪些点被访问过，如果被访问过，那么就跳过该点。
假设目前所在点的位置为 (x,y)，那么可以得出下一步可到达的点为：
(x+1, y)、(x-1, y)、(x, y+1)、(x, y-1)，如下图：
转换成代码形式就是，该数组可以定义为全局静态变量：
int[][] wayPoint = 0, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 0;
根据上面四个点，用表格来表示（X，Y）坐标的变化量更为直观：（以行为变化单位）
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用循环就能得到以（X,Y）为中心的周边四个点。
但得出这些点并不能一下子就进行递归寻路操作，要确定这些点是不是能够“走”得到，需要对其进行边界和障碍物以及该点是否被访问过判断。代码如下：
for (int i = 0; i < 4; i++)
int gX, gY;//新的坐标位置
gX = x + wayPoint[i][0];//获取每行的第0列，即上面表格中X的变化值
gY = y + wayPoint[i][1];//获取每行的第1列，即上面表格中Y 的变化值
//判断越界
if (gX < 0 || gX >= m || gY < 0 || gY >= n)
continue;
//判断障碍物，以及该点是否被访问过
if (map[gY][gX] == 1 || used[gY][gX] == true)
continue;
....
三、得到dfs(...)递归体代码
在对新的点进行判断后，就确定该点是能到达的，那么就可以 将当前的结果集（即当前深度搜索所走过的位置的集合） 进行递归，继续交给 dfsMap(...) 方法进行迭代寻找。
在进入该点之前，我们需要标记该点已经被访问过，同时在递归结束之后要对标记进行消除， dsfMap(int, int ,int) 核心代码如下：
/**
* @param x 当前所处的X轴坐标
* @param y 当前所处的Y轴坐标
* @param step 距离
*/
static void dfsMap(int x, int y, int step)
if (y == p && x == q)
//System.out.println("找到一条路径，距离为：" + step);
count++;
if (minStep == -1)
minStep = step;
if (step < minStep)
minStep = step;
else
for (int i = 0; i < 4; i++)
int gX, gY;//新的坐标位置
gX = x + wayPoint[i][0];//获取每行的第0列，即上面表格中X的变化值
gY = y + wayPoint[i][1];//获取每行的第1列，即上面表格中Y 的变化值
//判断越界
if (gX < 0 || gX >= m || gY < 0 || gY >= n)
continue;
//判断障碍物，以及该点是否被访问过
if (map[gY][gX] == 1 || used[gY][gX] == true)
continue;
used[gY][gX] = true;
dfsMap(gX, gY, step + 1);
used[gY][gX] = false;
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测试
最终完整的代码如下：
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public class SearchMap
static int[][] map;
static boolean[][] used;
//图面积设置
static int n;
static int m;
//需要寻找的点
static int p;
static int q;
//最小位置
static int minStep = -1;
//次数统计
static int count = 0;
static int[][] wayPoint = 0, 1, 0, -1, 1, 0, -1, 0;
public static void main(String[] args)
Scanner scan = new Scanner(System.in);
System.out.println("输入图的行、列：");
n =scan.nextInt();
m =scan.nextInt();
System.out.println("输入开始点的坐标：");
int startX = scan.nextInt();
int startY = scan.nextInt();
System.out.println("输入终点的坐标：");
p =scan.nextInt();
q =scan.nextInt();
map = new int[n][m];
used = new boolean[n][m];
System.out.println("输入图数据：");
for (int i = 0; i < n; i++)
for (int j = 0; j < m; j++)
map[i][j] = scan.nextInt();
//递归调用开始
used[startY][startX] = true;//初始化开始点被访问过，注意Y值代表行，X值代表列
dfsMap(startX, startY, 0);
//输出结果
System.out.println("\\n//=============================");
System.out.println("// 找到的总路径数为：" + count);
if (minStep == -1)
System.out.println("// 没有找到结果");
else
System.out.println("// 最小距离为：" + minStep);
System.out.println("\\n//=============================");
/**
* 深搜暴力寻图
*
* @param x 当前所处的X轴坐标
* @param y 当前所处的Y轴坐标
* @param step 距离
*/
static void dfsMap(int x, int y, int step)
if (y == p && x == q)
// System.out.println("找到一条路径，距离为：" + step);
count++;
if (minStep == -1)
minStep = step;
if (step < minStep)
minStep = step;
else
for (int i = 0; i < 4; i++)
int gX, gY;//新的坐标位置
gX = x + wayPoint[i][0];//获取每行的第0列，即上面表格中X的变化值
gY = y + wayPoint[i][1];//获取每行的第1列，即上面表格中Y 的变化值
//判断越界
if (gX < 0 || gX >= m || gY < 0 || gY >= n)
continue;
//判断障碍物，以及该点是否被访问过
if (map[gY][gX] == 1 || used[gY][gX] == true)
continue;
used[gY][gX] = true;
dfsMap(gX, gY, step + 1);
used[gY][gX] = false;
测试输入如下：
输入图的行、列：
6 5
输入开始点的坐标：
0 0
输入终点的坐标：
4 3
输入图数据：
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 1 1 0
0 1 1 0 0
0 0 0 0 0
程序输出：
//=============================
// 找到的总路径数为：124
// 最小距离为：9
//=============================
总结
难点所在
至此，深度搜索图的最短路径已经完成。其中最难理解的应该就是每次递归前标记位置已经被访问，并且在递归结束（相当于当前层）后对标记进行撤销：
....
used[gY][gX] = true;
dfsMap(gX, gY, step + 1);
used[gY][gX] = false;
....
回到图搜索
我们将图分为两类结果集：
- 一类是“已经被访问过的”结果集
- 剩下的就是“没有被访问过的”结果集
- 每次进行下一步都是以 当前“已经被访问过的”集合 为基础，将当前的结果集继续迭代
- 当 “当前的结果集” 所有的可能性都被尝试完时，就要将当前结果集的最后一步还原为上一个结果集的状态。
在这里，我简单地用数学集合表示法描述下：
按照上图，假设程序在前面访问了2个点：（0，0）、（0，1），其中（0，1）是目前游标所在（最后一个访问的）。
设U为全图所有点的集合，设A为“已经被访问过的”结果集，当**A =｛（0，0）、（0，1）｝**时，剩下的 ｛U - A｝ 都是没有被访问的集合。
按照【每次只能走一步】的约定，当我们要走下一步时只能走（0，2）、（1，1）两个中的一个：
- 按照顺时针访问顺序，我们先走（0，2）这个点，对应代码中标记：
used[gY][gX] = true;
- 当走到（0，2）时，集合A就变为｛（0，0），（0，1），（0，2）｝，设为A1，如果还要继续往下走，那么就要在A1的基础上继续扩展，对应代码中递归调用，表示继续从（0，2）这个点继续扩展其所有的结果：
dfsMap(gX, gY, step + 1);
- 当A1所有的情况都尝试完的时候，A1就要返回A的集合状态，这时就要从集合A1中移除（0，2），在代码中也就是取消（0，2）的标记：
used[gY][gX] = false;
- 当返回到集合A的数据时，就要去访问（1，1）这个点，继续重复上面的1，2，3步。
至于扩展的顺序，就是根据上面定义的方向数组waypoint数组，用for循环获取所有的（上、下、左、右）可能，然后进行1，2，3步
当然，在进行递归迭代之前，要对新的点进行边界、障碍物判断。
这个过程与全排列生成的解答树相似
图片参考《算法竞赛：入门经典》中P119页的图。
里面通过描述全排列生成的解答树，和本题的思维非常相似，如图：
和全排列相似地，整个过程就如同生成一棵解答树【如图】：
- 每到达一个结点，所有已知的（走过的）都是一个结果集；
- 同时当前结果集与下一个可行的结点又会形成一个新的结果集（可行的结点越多，新的结果集越多）；
- 如此下去，直到当前结果集的所有可行结点被列举，返回当前结果集的上一个结果集；
- 当所有的结果集都被列举，那么就能得出所有可行性的遍历。
写在最后
虽然本人技术和文笔和很多大牛相比都是一般般的，但我乐于和大家分享技术、交流。
撰写本文差不多花了一个多星期的时间去收集整理资料、写稿。代码也前后修改了很多次，不修改分块发出来很多人根本看不懂（变量比较多），也不想一次过全部代码“无脑推送”。如果你喜欢本文，请在下面给我点个赞吧！
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