问题 J: 选拔参赛选手

Posted 2022-11-25 Mr_渣渣辉

题目描述

学校开学要选拔同学去参加比赛，假设学校里有n个学生，要从这n个学生中选拔k个同学，请问有多少种不同的选法，因结果数据太大，结果模除1000000007

输入格式

第一行输入两个整数n，k，n代表有多少个学生，k代表选拔多少个学生（0<k<n<=100000）

输出格式

输出一个整数

输入样例

5 2

输出样例

10

解题思路

先了解两个小知识：
费马小定理：当gcd（a,p）≡1（p为质数）时，a^(p-1) ≡1（mod p）
乘法逆元：如果ax≡1 (mod p)，且gcd(a,p)=1，则称a关于模p的乘法逆元为x，x又记为inv(a)或a^-1
比赛最后半个多小时才开始看这个题= =。着实很意外O(∩_∩)O，假期学过
一道初等数论题，先变形组合数C(n,m) = n! / ( m! * (n-m)! ) , n! * m!^-1 * (n-m)! ^-1
再将费马小定理变形为a*a^(p-2)≡1（mod p）因为这里p为1e9+7，所以gcd（a，p）≡1且p为质数，带入乘法逆元中有a^(p-2)=a^-1，通过快速幂求a^(p-2)带入组合数公式AC

AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll mod=1e9+7;
ll ksm(ll n, ll m)

    ll res=1;
    while(m>0)
    
        if (m&1)res=(res*n)%mod;
        n=(n*n)%mod;
        m=m>>1;
    
    return res;

ll C(ll n,ll m)

    if(m>(n-m))
        m=n-m;
    ll up=1,down=1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    
        up=up*(n+1-i)%mod;
        down=down*i%mod;
    
    cout<<up <<" "<<down<<" "<<endl;
    return (up*ksm(down,mod-2))%mod;

int main()

    ll n,m;
    while(scanf("%lld %lld",&n,&m)!=EOF)
    
        printf("%lld\\n",C(n,m));
    
    return 0;